Die partiellen Ableitungen der Basisvektoren nach den Ortskoordinaten können wieder als Linearkombinationen der Basisvektoren dargestellt werden. Dazu verwendet man die sogenannten Christoffel-Symbole
gelangt. Damit kann man (2.85) auch in die Form
(2.87)
bringen, wobei wir im ersten Term einfach den Summationsindex von α zu μ umbenannt haben. Aus dieser Beziehung lassen sich sofort die Komponenten der Beschleunigung in dem krummlinigen Koordinatensystem ablesen:
(2.88)
Die Christoffel-Symbole sind direkt mit der Metrik verbunden. Um diese Beziehung zu erkennen, bilden wir die partiellen Ableitungen von (2.77) nach den Koordinaten. Wir erhalten zunächst
(2.89)
und hieraus unter Beachtung von (2.86)
(2.90)
und schließlich wegen (2.77)
Wir bemerken, dass die Symmetrie des metrischen Tensors automatisch auch eine Symmetrie der Christoffel-Symbole bedingt. Dazu muss man beachten, dass (2.74) ein totales Differential ist und folglich nach dem Satz von Schwarz
(2.92)
gelten muss. Beachtet man ferner (2.86), dann erhält man sofort die Symmetrie:
Beachten wir, dass (2.91) wegen des Komponentencharakters eigentlich ein System von 18 verschiedenen Gleichungen repräsentiert, dann haben wir implizit die gesuchten Christoffel-Symbole bereits bestimmt. Um eine explizite Darstellung der Christoffel-Symbole durch die Metrik zu bekommen, bilden wir durch zyklisches Vertauschen der Indizes aus (2.91) die Gleichungen
(2.94)
(2.95)
(2.96)
und berechnen anschließend die Differenz zwischen der Summe der ersten beiden Gleichungen und der letzten Gleichung. Dann folgt sofort unter Beachtung der Symmetrierelation (2.93)
(2.97)
und deshalb
(2.98)
wobei die
2.3 Rekonstruktion von Bewegungsgleichungen
Die Kinematik kann dazu benutzt werden, aus einer Klasse von beobachteten Trajektorien einen Zusammenhang zwischen der Beschleunigung einerseits und der Position und der Geschwindigkeit des Massenpunktes andererseits herzustellen. Dabei ist es das Ziel der Kinematik, möglichst viele freie Bahnparameter zu eliminieren.
Ein traditionelles Beispiel ist die Ableitung der Bewegungsgleichungen der Planetenbewegung aus den Kepler’schen Gesetzen. Diese lauten:
1 Die Bahnen der Planeten um die Sonne sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt sich die Sonne befindet.
2 Der von der Sonne zu einem Planeten gezogene Ortsvektor überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen (Flächensatz).
3 Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen ihrer großen Bahnhalbachsen.
Das erste Kepler’sche Gesetz legt es uns nahe, die Bahn der Planeten in einem Polarkoordinatensystem zu beschreiben, in dessen Ursprung (Brennpunkt) sich die Sonne befindet. Dann kann die Bahnkurve jedes Planeten durch
dargestellt werden, wobei ε < 1 als Exzentrizität der Ellipse und p > 0 freie Parameter sind.
Der Flächensatz erfordert, dass die während eines Zeitintervalls der fixen Länge dt überstrichene Fläche konstant ist. Bis auf Terme höherer Ordnung ist diese Fläche durch
(2.100)
gegeben. Dabei ist ds die in der Zeit dt durchlaufene Bogenlänge der Bahn. Die hieraus in der Grenze dt → 0 resultierende Flächengeschwindigkeit
ist damit zeitlich konstant. Wir erhalten dann wegen (2.37) sofort die Komponente der Beschleunigung in Richtung
