decisión para escoger la capacidad que maximiza los beneficios debe satisfacer
Ahora analizamos la etapa de fijación de precios para capacidades que satisfacen la desigualdad anterior. Si la empresa 1 ofrece el producto a un precio más bajo, la empresa 2 enfrenta la siguiente demanda residual para el producto 2:
Por lo tanto, para p1 < p2, los beneficios son
Ahora queremos probar que el equilibrio en la segunda etapa del juego es tal que ambas empresas fijan el precio que despeja el mercado:
Para probar este resultado, procedemos de la siguiente manera: suponiendo que p1 = p*, necesitamos mostrar que p2 = p* es una mejor respuesta; esto es, la empresa 2 no puede obtener beneficios más altos al fijar un precio más bajo o más alto que p*. Primero, resulta fácil ver que fijar un precio más bajo, p2 < p*, no es una desviación rentable. En efecto, a p1 = p2 = p* la empresa 2 vende toda su capacidad
Segundo, sabiendo que la empresa 1 tiene una restricción de capacidad, la empresa 2 podría determinar que le resulta rentable aumentar su precio (p2 > p*). En efecto, debido a la capacidad limitada de la empresa 1, la empresa 2 puede vender un volumen positivo a un precio por encima de p1. Este caso requiere en examen más cuidadoso que el anterior. Recuerde que las empresas han incurrido en el costo marginal c al instalar su capacidad en la primera etapa. Por lo tanto, en la segunda etapa maximizan sus ingresos (dado que el costo marginal de producción es cero). Siempre y cuando p1 < p2, los ingresos de la empresa 2 son
Tenemos que mostrar que el equilibrio propuesto p* está ubicado a la derecha del máximo de esta función de ingresos (como se ilustra en la figura 3.5). Si esto es válido, hemos completado la prueba, porque aumentar el precio más allá de p* disminuye los beneficios, lo que quiere decir que tal desviación no es rentable. El máximo de la función de ingresos es igual a
Invocando (3.9), sabemos que
Lo que está garantizado por la condición (C1). Por lo tanto, no es rentable fijar p2 > p*, lo que completa nuestra prueba.
Figura 3.5 Fijar p2 > p* no es una desviación rentable
Ahora podemos insertar estos precios de equilibrio de la etapa 2 en las funciones de beneficios, para obtener las funciones reducidas de beneficios para la etapa uno, que solamente dependen de las capacidades:
Vemos que, si reinterpretamos las capacidades como cantidades, la función objetivo es la misma que en el modelo de Cournot, donde las empresas no fijan los precios, sino que, para cualquier cantidad, el precio despeja el mercado.
Lección 3.10 En el juego capacidad-después-precio con racionamiento eficiente para el consumidor (y con demanda lineal y costos marginales constantes), las capacidades escogidas son iguales a las de un mercado de Cournot estándar.
Discusión
Debemos enfatizar que la Lección 3.10 se obtiene bajo una restricción paramétrica y para una regla de racionamiento particular. ¿Qué pasa si relajamos esos supuestos? Note primero que la clave para que el resultado previo sea válido es que la empresa i no tenga incentivos para aumentar su precio por encima de p* cuando la empresa j fija pj = p*.[22] Bajo la regla de racionamiento eficiente, vimos que a la empresa i, ignorando su restricción de capacidad, le gustaría fijar
Consideremos ahora una regla alternativa de racionamiento. Edgeworth (1897) propuso asignar las unidades más baratas del producto aleatoriamente entre los consumidores. Bajo esta regla de racionamiento proporcional, todos los consumidores tienen la misma probabilidad de quedarse sin producto.[24] Bajo esta regla, el precio más alto cobrado siempre será el precio de monopolio pm. En efecto, ignorando su restricción de capacidad, la empresa i maximiza α pi Q(pi), donde α
