Высшая математика. Шпаргалка. Аурика Луковкина

Скачать книгу

S₃ = a₁ + a₂ + a₃ и т. д. Если существует предел последовательности частичных сумм ряда, то ряд называется сходящимся, а сам предел называется суммой ряда, обозначается . Если такового предела не существует, то ряд называется расходящимся.

      Теорема. На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов. Если ряд сходится, то его n–ый член стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т. е.

. Пусть даны два ряда

a_n и b_n. Тогда в результате сложения этих двух рядов получится ряд (a_n + b_n), при умножении получается ряд a_n на число с будет ряд ca_n (с – вещественное или комплексное число).

      Теорема. Пусть даны два ряда, имеющие соответствующие суммы

a_n = S₁ и b_n = S₂. Тогда справедливо: (a_n +b_n) = S₁ +S₂, ca_n = cS₁ (где с – число).

      Теорема (принцип сравнения). Пусть даны два ряда с положительными членами

a_n и b_n. Если ряд a_n сходится и a_i ≥ b_i (i = 1, 2…, n), то и ряд b_nb_n сходится, причем a_n ≥ b_n.

      Теорема. Если члены ряда

b_n, то и ряд a_n расходится.

      13. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Функциональные ряды

      Знакопеременный ряд – это ряд с произвольными вещественными числами.

      Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

      Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

      Теорема. Всякий абсолютно сходящийся знакопеременный ряд есть ряд сходящийся.

      Теорема. Если знакопеременный ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов. При этом сумма ряда не зависит от порядка его членов.

      Теорема. Если знакопеременный ряд сходится условно, то какое бы ни задали число А, можно так переставить члены этого ряда, чтобы его сумма в точности оказалась бы равной А. Кроме этого, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, что после перестановки ряд окажется расходящимся.

      Ряд с вещественными членами называется знакочередующимся, если два любых его соседних члена имеют разные знаки. Его иногда записывают следующим образом:

(–1)ⁿ⁺¹a_n (a_i > 0).

      Теорема (признак сходимости Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда

a_n удовлетворяют условиям |a_n| > |a_n +1 | (n = 1, 2…) и a_n = S, то

Скачать книгу