Высшая математика. Шпаргалка. Аурика Луковкина

Скачать книгу

последовательность ограниченна;

      6) сумма (разность) двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность;

      7) пусть {а_n} – бесконечно малая последовательность, {b_n} – ограниченная последовательность, тогда их произведение есть бесконечно малая последовательность;

      8) пусть {а_n} – бесконечно малая последовательность, а с – любое действительное число, тогда последовательность {са_n} тоже бесконечно мала;

      9) произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

      11. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Предел последовательности

      Последовательность {а_n} называется сходящейся, если существует такое вещественное число А, что последовательность {а_n – А} является бесконечно малой. Число А будет пределом последовательности:

.

      Сходящуюся последовательность можно представить в виде {a_n} = {A + γ_n}, где {γ_n} – бесконечно малая последовательность.

      Бесконечно малые последовательности являются сходящимися с пределом, равным нулю, бесконечно большие – расходящимися (сходящимися к бесконечности).

      Точка бесконечной прямой называется предельной точкой последовательности, если в любой ее ε–окрестности содержится бесконечно много элементов данной последовательности.

      Лемма. Каждая сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с ее пределом.

      Основные свойства сходящихся последовательностей:

      1) всякая сходящаяся последовательность имеет один предел;

      2) сходящаяся последовательность {a_n} ограниченна;

      3) пусть последовательности {a_n} и {b_n} сходятся и

, тогда сходятся и последовательности {cx_n} (c = const) {a_n ± b_n} {a_n × b_n} {a_n / b_n} (в случае частного B ≠ 0, b_n ≠ 0, n = 1, 2, …). И их пределы вычисляются по общим правилам.

      Теорема сравнения (предельный переход в неравенствах). Пусть заданы последовательности {a_n}, {b_n}. Тогда если последовательности {a_n}, {b_n} таковы, что a_n ≤ (≥) b_n, то

(данное утверждение неверно для строгих неравенств).

      Теорема (принцип двустороннего ограничения). Пусть заданы последовательности {a_n}, {b_n}, {c_n}. Тогда если a_n ≤ b_n ≤ c_n и последовательности {a_n} и {c_n} сходятся к одному и тому же пределу В, то последовательность {b_n} тоже сходится к тому же пределу:

.

      Следствия:

      1) если все члены сходящейся последовательности {a_n} не отрицательны (не положительны), то предел последовательности есть число неотрицательное (неположительное),

;

      2) если все элементы сходящейся последовательности {a_n} находятся на отрезке [a, b], то и предел этой последовательности {a_n} лежит на данном отрезке,

Скачать книгу