+ β)А = αА + βА.
Произведением двух квадратных матриц А и В называется матрица С, элемент которой, находящийся на пересечении i–ой строки и k–го столбца, является суммой парных произведений элементов i–ой строки первой матрицы на элемент k–ой строки второй матрицы С = АВ. То же правило распространяется на умножение прямоугольных матриц, у которых число столбцов матрицы–множимого равно числу строк матрицы–множителя.
Матрицы, для которых АВ = ВА, называются коммутирующими.
Справедливы свойства:
1) ЕА = АЕ = А;
2) А(ВС) = (АВ)С;
3) a(АВ) = (aА)В = А(aВ);
4) (А1 + А2)В = А1В + А2В, А(В1 + В2) = АВ1 + АВ2;
5) А0 = 0А = 0;
6) (АВ)т = АтВт.
При умножении двух ненулевых матриц может получиться нулевая матрица.
8. Определители. Обратная матрица. Вырожденная и невырожденная матрицы. Система линейных уравнений
Определителем второго порядка, соответствующим матрице
Свойства определителя:
1) величина определителя не меняется, если заменить его строки соответствующими столбцами или если к элементам какой–либо его строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на одно и тоже число;
2) определитель поменяет знак при перемене мест его строк или столбцов;
3) определитель будет равен нулю, если элементы какого–либо столбца (или строки) равны нулю или элементы двух строк (или столбцов) соответственно равны.
Минором Mik элемента aik определителя IАI называется определитель полученный из А вычеркиванием той строки и того столбца которым принадлежит этот элемент.
Алгебраическим дополнением Aik элемента a определителя |A| называется его минор, взятый со знаком (–1)i+k, A = (–1)i+kMik.
Определителем n–порядка, соответствующим квадратной матрице n–го порядка, называется число, равное сумме парных произведений элементов какой–либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Теорема. Если А и В – квадратные матрицы одного порядка с определителями |A| и |B|, то определитель матрицы С = АВ равен: |C | = |A| |B|.
Обратной матрицей для квадратной матрицы А называется матрица А–1, которая удовлетворяет условиям АА–1 = А–1А = Е. Матрица А называется вырожденной, если ее определитель |A| равен нулю.
Теорема. Матрица
где Aik – алгебраическое дополнение элемента aik невырожденной матрицы А, является обратной для А.
Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:
9. Числовые последовательности, арифметические действия над ними. Предел последовательности
Если каждому
