двум непараллельным плоскостям А1х + В1у + С1z + D1 = 0 и А2х + В2у + С2z + D2 = 0, имеет вид:
Имеем три плоскости, заданные общими уравнениями:
6. Прямая в пространстве
Всякая прямая определяется в пространстве системой двух уравнений
Канонические (симметричные) уравнения прямой: (x – x0) / m = (y – y0) / p = (z – z0) / q, прямая проходит через точку M0 (x0, y0, z0). Угол φ между двумя прямыми, заданными каноническими уравнениями:
Условие параллельности двух прямых: m1 / m2 = p1 / p2 = q1 / q2. Условие перпендикулярности двух прямых: m1m2 + p1p2 + q1q2 = 0.
Пусть имеются прямая (x – x0) / m = (y – y0) / p = (z – z0) / q и плоскость Ах + Ву + Сz + D = 0. Условие параллельности прямой и плоскости: Am + Bp + Cq = 0. Условие перпендикулярности прямой и плоскости: A / m = B / p = C / q. Условие принадлежности прямой плоскости:
Если прямая задана параметрически x = x0 + mt, y = y0 + pt, z = z0 + qt, то координаты точки пересечения этой прямой и плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0 определяются по параметрическим уравнениям прямой при подстановке значений t, определенных (Am + Bp + Cq)t + Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0. Уравнение прямой, проходящей через точки М1 (х1, у1, z1) и М2 (х2, у2, z2):(х – х1) / (х2 – х1) = (у – у1) / (у2 – у1) = (z – z1) / (z2 – z1). Уравнение плоскости, проходящей через точку М0(х0, у0, z0) перпендикулярно прямой (x – x1) / m = (y – y1) / p = (z – z1) / q, имеет вид: m(x – x0) + p(y – y0) + q(z – z0) = 0. Уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0, у0, z0) перпендикулярно плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0, имеет вид: (х – х0) / А = (у – у0) / В = (z – z0) / C. Уравнение плоскости, проходящей через М0(х0, у0, z0) и (x – x1) / m = (y – y1) / p = (z – z1) / q, не проходящую через М0:
Уравнение плоскости, проходящей через М0 (х0, у0, z0) и параллельной двум прямым:
Уравнение плоскости, проходящей через (x – x1) / m1 = (y – у1) / p1 = (z – z1) / q1 и параллельной (x – x2) / m2 = (y – y2) / р2 = (z – z2) / q2 имеет вид:
Уравнение плоскости, проходящей через (x – x1) / m1 = (y – y1) / p1 = (z – z1) / q1 перпендикулярно Ах + Ву + Сz + D = 0;
7. Матрицы и действия над ними
Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица вида:
или А = (aij), где i = 1, 2…, m; j = 1, 2…, n. Числа aij – называются элементами матрицы. Если m = 1, а n > 1, то матрица является матрицей–строкой. Если m > 1, а n = 1, то матрица является матрицей–столбцом. Если m = n, то матрица называется квадратной, а число ее строк (или столбцов) называется порядком матрицы.
Две матрицы А и В называются равными,
