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Mathematik für Ingenieure II für Dummies. J. Michael Fried

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Mathematik für Ingenieure II für Dummies - J. Michael Fried

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left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis"/> gilt nach den Ableitungsregeln für gewöhnliche Ableitungen:

StartLayout 1st Row 1st Column f Subscript x 1 Baseline left-parenthesis x 1 comma x 2 right-parenthesis 2nd Column equals 3rd Column x 2 left-parenthesis StartFraction x 1 squared minus x 2 squared Over x 1 squared plus x 2 squared EndFraction plus StartFraction 4 x 1 squared x 2 squared Over left-parenthesis x 1 squared plus x 2 squared right-parenthesis squared EndFraction right-parenthesis 2nd Row 1st Column f Subscript x 2 Baseline left-parenthesis x 1 comma x 2 right-parenthesis 2nd Column equals 3rd Column x 1 left-parenthesis StartFraction x 1 squared minus x 2 squared Over x 1 squared plus x 2 squared EndFraction minus StartFraction 4 x 1 squared x 2 squared Over left-parenthesis x 1 squared plus x 2 squared right-parenthesis squared EndFraction right-parenthesis 3rd Row 1st Column Blank 2nd Column Blank 3rd Column Blank EndLayout

      Berechnen Sie zum Beispiel die partielle Ableitung f Subscript x 1 x 2 Baseline left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis als partielle Ableitung von f Subscript x 1 nach x 2 an der Stelle left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis, dann erhalten Sie nach der Grenzwertdefinition der Ableitung

f Subscript x 1 x 2 Baseline left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis equals limit Underscript t right-arrow 0 Endscripts StartFraction f Subscript x 1 Baseline left-parenthesis 0 comma t right-parenthesis minus f Subscript x 1 Baseline left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis Over t EndFraction equals limit Underscript t right-arrow 0 Endscripts StartStartFraction t left-parenthesis minus StartFraction t squared Over t squared EndFraction right-parenthesis OverOver t EndEndFraction equals negative 1 period

      Umgekehrt ist f Subscript x 2 x 1 Baseline left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis die partielle Ableitung von f Subscript x 2 nach x 1 an der Stelle left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis. Nach Grenzwertdefinition erhalten Sie daher:

f Subscript x 2 x 1 Baseline left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis equals limit Underscript t right-arrow 0 Endscripts StartFraction f Subscript x 2 Baseline left-parenthesis t comma 0 right-parenthesis minus f Subscript x 2 Baseline left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis Over t EndFraction equals limit Underscript t right-arrow 0 Endscripts StartStartFraction t left-parenthesis StartFraction t squared Over t squared EndFraction right-parenthesis OverOver t EndEndFraction equals 1 period

      Die beiden gemischten partiellen Ableitungen 2. Ordnung f Subscript x 1 x 2 und f Subscript x 2 x 1 sind also nicht gleich, es kommt auf die Reihenfolge der einzelnen Ableitungen an.

       Falls die betrachteten partiellen Ableitungen Unstetigkeitsstellen besitzen, müssen Sie bei der Berechnung höherer partieller Ableitungen die Reihenfolge der einzelnen Ableitungen beachten.

      Das ist lästig, denn selbst eine reellwertige Funktion von nur zwei Variablen hat zum Beispiel schon acht möglicherweise unterschiedliche partielle Ableitungen 3. Ordnung, die Sie im Prinzip alle einzeln berechnen müssen.

      Stetigkeit heilt das: Der Satz von Schwarz

      Im Zusammenhang mit höheren partiellen Ableitungen ist eine Eigenschaft besonders nützlich: stetige partielle Differenzierbarkeit.

Eine Funktion f colon double-struck upper R Superscript n Baseline right-arrow double-struck upper R Superscript m heißt auf einer Menge upper D subset-of-or-equal-to double-struck upper R Superscript n k-mal stetig partiell differenzierbar, wenn für alle x element-of upper D die partiellen Ableitungen bis zur k-ten Ordnung existieren und auf upper D stetig sind.

      Eine solche Funktion wird eine script upper C Superscript k-Funktion auf upper D genannt, in Formeln:

f element-of script upper C Superscript k

      Stetig partiell differenzierbare Funktionen werden oft glatte Funktionen genannt. Je öfter eine Funktion stetig partiell differenzierbar ist, desto glatter ist sie.

      Die Berechnung der höheren partiellen Ableitungen einer Funktion f vereinfacht sich, falls f glatt genug ist.

       Der Satz von Schwarz: Ist f auf einer offenen Menge upper D subset-of-or-equal-to double-struck upper R Superscript n k-mal stetig partiell differenzierbar, dann können Sie die Reihenfolge der partiellen Differentiationen aller partiellen Ableitungen der Ordnungen 2 comma ellipsis comma k beliebig vertauschen.

      Sie müssen bei einer glatten Funktion daher nicht jede höhere partielle Ableitung einzeln berechnen, sondern erhalten einige direkt durch Vertauschung der Differentiationsreihenfolge aus anderen partiellen Ableitungen. Ist zum Beispiel f eine script upper C squared-Funktion, dann gilt für alle x element-of upper D und alle i comma k equals 1 comma 2 comma ellipsis comma n:

StartFraction partial-differential squared f Over partial-differential x Subscript i Baseline partial-differential x Subscript k Baseline EndFraction left-parenthesis <noindex><p style= Скачать книгу


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