alt="left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis"/> zwar nicht stetig, aber besitzt dort beide partiellen Ableitungen und . Wäre die Funktion dort auch total differenzierbar, dann müsste in stetig sein. Da sie das nicht ist, kann sie dort nicht total differenzierbar sein.
Die totale Differenzierbarkeit einer Funktion bedeutet also tatsächlich mehr als die Existenz aller partiellen Ableitungen, auch wenn Sie, falls die betreffende Funktion überhaupt total differenzierbar ist, die totale Ableitung über die partiellen Ableitungen ausrechnen können.
Das klingt verwirrend und stellt in der Tat eine Falle dar, in die Sie bei Differenzierbarkeitsuntersuchungen geraten könnten. Allerdings können Sie den partiellen Ableitungen oft ansehen, dass die Funktion auch total differenzierbar ist.
Ist eine Funktion in einer Umgebung von nach allen Variablen partiell differenzierbar und alle partiellen Ableitungen sind im Punkt stetig, dann ist die Funktion in auch total differenzierbar.
Für sehr viele praxisrelevante Funktionen können Sie die Stetigkeit der partiellen Ableitungen leicht feststellen und erhalten damit dann automatisch die totale Differenzierbarkeit.
Ein Beispiel: Die Funktion
ist in der Umgebung eines jeden Punkts partiell differenzierbar:
Diese partiellen Ableitungen sind Polynome in den drei Variablen und und daher überall stetig. Damit ist die Funktion überall total differenzierbar.
Richtungsableitungen
Wie im Abschnitt »Nur einen Teil: die partielle Ableitung« erläutert wurde, sind die partiellen Ableitungen der Funktion die Änderungsraten der Funktion in die Richtungen der -ten Koordinatenachse. Ähnlich wie die partiellen Ableitungen in Richtung der Koordinantenachsen gibt es Richtungsableitungen einer Funktion in beliebige Richtungen .
Für eine reellwertige Funktion können Sie sich vorstellen, dass die partiellen Ableitungen Ihnen die Steigung des Graphen in die durch die Koordinantenachsen vorgegebenen Himmelsrichtungen angibt. Eine Richtungsableitung in Richtung gibt Ihnen entsprechend die Steigung des Graphen in dieser Richtung an.
Für eine Funktion und einen Richtungsvektor heißt
die Richtungsableitung vonin Richtungan der Stelledes Definitionsbereichs von.
Sie können die Steigung einer differenzierbaren reellwertigen Funktion in jede beliebige Richtung mit Hilfe der durch den Gradienten gegebenen totalen Ableitung direkt aus den Steigungen in Richtung der Koordinatenachsen, den partiellen Ableitungen, berechnen. Es ist
alt="left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis"/> zwar nicht stetig, aber besitzt dort beide partiellen Ableitungen 
