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Mathematik für Ingenieure II für Dummies. J. Michael Fried

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Mathematik für Ingenieure II für Dummies - J. Michael Fried

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right-parenthesis equals colon StartFraction partial-differential squared f Over partial-differential x Subscript k Baseline partial-differential x Subscript i Baseline EndFraction equals colon f Subscript x Sub Subscript i Subscript x Sub Subscript k Subscript Baseline"/> StartFraction partial-differential squared f Over partial-differential x Subscript i Baseline partial-differential x Subscript i Baseline EndFraction equals colon StartFraction partial-differential squared f Over partial-differential x Subscript i Superscript 2 Baseline EndFraction period

      Falls die entsprechenden partiellen Ableitungen existieren, erhalten Sie auf diese Art beliebige partielle Ableitungen höherer Ordnung. Zum Beispiel die partiellen Ableitungen 3. Ordnung:

StartFraction partial-differential Over partial-differential x Subscript k Baseline EndFraction left-parenthesis StartFraction partial-differential squared f Over partial-differential x Subscript j Baseline partial-differential x Subscript i Baseline EndFraction right-parenthesis equals colon StartFraction partial-differential cubed f Over partial-differential x Subscript k Baseline partial-differential x Subscript j Baseline partial-differential x Subscript i Baseline EndFraction equals colon f Subscript x Sub Subscript i Subscript x Sub Subscript j Subscript x Sub Subscript k Subscript Baseline

      für i comma j comma k equals 1 comma 2 comma ellipsis comma n.

       Ein Beispiel:

      Zur reellwertigen Funktion f left-parenthesis x right-parenthesis equals f left-parenthesis x 1 comma x 2 right-parenthesis equals x 1 cubed x 2 plus x 2 der beiden Variablen x 1 und x 2 erhalten Sie nach dem letzten Abschnitt für die ersten partiellen Ableitungen

f Subscript x 1 Baseline left-parenthesis x right-parenthesis equals 3 x 1 squared x 2 und f Subscript x 2 Baseline left-parenthesis x right-parenthesis equals x 1 cubed plus 1 period

      Die beiden partiellen Ableitungen f Subscript x 1 und f Subscript x 2 sind ebenfalls partiell differenzierbare reellwertige Funktionen der beiden Variablen x 1 und x 2. Die zweiten partiellen Ableitungen erhalten Sie als die partiellen Ableitungen von f Subscript x 1 und f Subscript x 2:

f Subscript x 1 x 1 Baseline left-parenthesis x right-parenthesis equals left-parenthesis f Subscript x 1 Baseline right-parenthesis Subscript x 1 Baseline equals 6 x 1 x 2 und f Subscript x 1 x 2 Baseline left-parenthesis x right-parenthesis equals left-parenthesis f Subscript x 1 Baseline right-parenthesis Subscript x 2 Baseline equals 3 x 1 squared

      und

f Subscript x 2 x 1 Baseline left-parenthesis x right-parenthesis equals left-parenthesis f Subscript x 2 Baseline right-parenthesis Subscript x 1 Baseline equals 3 x 1 squared comma f Subscript x 2 x 2 Baseline left-parenthesis x right-parenthesis equals left-parenthesis f Subscript x 2 Baseline right-parenthesis Subscript x 2 Baseline equals 0 period

      Für die dritten partiellen Ableitungen müssen Sie diese zweiten partiellen Ableitungen jeweils wieder nach den einzelnen Variablen partiell differenzieren. Sie erhalten zum Beispiel

f Subscript x 1 x 1 x 1 Baseline left-parenthesis x right-parenthesis equals left-parenthesis f Subscript x 1 x 1 Baseline right-parenthesis Subscript x 1 Baseline equals 6 x 2 comma f Subscript x 1 x 1 x 2 Baseline left-parenthesis x right-parenthesis equals left-parenthesis f Subscript x 1 x 1 Baseline right-parenthesis Subscript x 2 Baseline equals 6 x 1

      und

f Subscript x 2 x 1 x 1 Baseline left-parenthesis x right-parenthesis equals left-parenthesis f Subscript x 2 x 1 Baseline right-parenthesis Subscript x 1 Baseline equals 6 x 1 comma f Subscript x 2 x 1 x 2 Baseline left-parenthesis x right-parenthesis equals left-parenthesis f Subscript x 2 x 1 Baseline right-parenthesis Subscript x 2 Baseline equals 0

      und so weiter.

      Bei diesem Beispiel sieht es so aus, als wäre es gleichgültig, in welcher Reihenfolge die partiellen Ableitungen nach den verschiedenen Variablen gebildet werden. Im Fall der partiellen Ableitungen 2. Ordnung gilt also

StartFraction partial-differential squared f Over partial-differential x Subscript i Baseline partial-differential x Subscript k Baseline EndFraction left-parenthesis x right-parenthesis equals StartFraction partial-differential squared f Over partial-differential x Subscript k Baseline partial-differential x Subscript i Baseline EndFraction left-parenthesis x right-parenthesis

      für alle i und k. Dass dies nicht immer richtig ist, zeigt der nächste Abschnitt.

      Vorsicht: Vertauschen partieller Ableitungen geht nicht immer!

f left-parenthesis x 1 comma x 2 right-parenthesis equals StartLayout Enlarged left-brace 1st Row 1st Column x 1 x 2 StartFraction x 1 squared minus x 2 squared Over x 1 squared plus x 2 squared EndFraction 2nd Column falls 3rd Column left-parenthesis x 1 comma x 2 right-parenthesis not-equals left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis 2nd Row 1st Column 0 2nd Column falls 3rd Column left-parenthesis x 1 comma x 2 right-parenthesis equals left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis EndLayout

      Kritisch ist dabei die Stelle left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis. Aus f left-parenthesis x 1 comma 0 right-parenthesis equals f left-parenthesis 0 comma x 2 right-parenthesis equals 0 folgt direkt, dass die ersten partiellen Ableitungen f Subscript x 1 Baseline left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis equals f Subscript x 2 Baseline left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis equals 0 an dieser Stelle verschwinden.

      Für left-parenthesis x 1 comma x 2 right-parenthesis <noindex><p style= Скачать книгу


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