La primera corresponde a una letra emitida por el tesoro de EE. UU. y es considerada libre de riesgo. Se vende en el mercado por 97,08 €, lo cual implica un rendimiento anual del 3 %. En cambio, la segunda letra es emitida por un país emergente, y como es considerada con cierto riesgo, se vende en el mercado por 96,15 €, lo cual implica un rendimiento del 4 %. La diferencia de rendimientos (4 % – 3 % = 1 %), es lo que se conoce como el «premio por el riesgo».
Aplicaciones de las matemáticas financieras en la vida real
Las matemáticas financieras tienen inmediata aplicación en una gran cantidad de situaciones de la vida real. Una vez que usted aprenda matemáticas financieras, comprobará que será capaz de:
• Calcular el rendimiento efectivo de un depósito a plazo. Este tipo de operación es muy común cuando debemos calcular el rendimiento de nuestros ahorros. Normalmente, deberá calcular la tasa efectiva de una operación de depósito, en la cual el banco le ofrece una tasa nominal anual.
• Comparaciones de rendimientos entre activos financieros. Seguramente, usted realizará inversiones en su vida y deseará comparar sus desempeños. Aquí, la denominada «tasa equivalente» juega un rol fundamental para comparar rendimientos expresados en diferentes plazos.
• Evaluar un proyecto de inversión. Si trabaja en finanzas, muy posiblemente le toque algún día tener que evaluar la bondad financiera de un proyecto de inversión. Para ello, necesitará conocer en detalle las técnicas del valor presente neto y la tasa interna de rentabilidad, entre otros métodos.
• Medición del desempeño de una inversión en bonos. La inversión en bonos puede llegar a ser muy sofisticada y para realizar un análisis exhaustivo precisará contar con sólidos conocimientos de matemáticas financieras y también técnicas de evaluación de proyectos de inversión.
• Evaluar alternativas de financiamiento y préstamos. Cuando deba financiar una inversión o analizar un préstamo para comprar su vivienda, verá que le serán muy útiles los conocimientos del capítulo sobre préstamos, donde tratamos las diferentes modalidades que los bancos suelen ofrecer.
• Planificar sus finanzas personales y su jubilación. Todos debemos tomar conciencia sobre la importancia de planificar nuestras metas y necesidades futuras; en este sentido, las matemáticas financieras resultan de imprescindible ayuda para establecer un buen emparejamiento entre nuestros recursos y necesidades.
1.2 Revisión de álgebra
Esta sección constituye un repaso de las funciones que aprendió en un curso de análisis matemático y tienen por objeto prepararlo para tratar con ductilidad las situaciones que se le presentarán en capítulos posteriores. Puede saltar la lectura de este capítulo si considera que no precisa este repaso o, alternativamente, consultarlo cuando necesite refrescar algún conocimiento.
Factor común
Un polinomio que tiene un factor o varios factores comunes en todos sus términos se puede escribir como el producto del o los factores comunes por un paréntesis, dentro del cual figura el polinomio formado por los cocientes entre cada uno de los términos del polinomio original y el factor o los factores comunes detectados. Dada la siguiente expresión: 16a4b2 + 8a2b.
Los factores comunes son 2, a y b, entonces:
2ab (8b4 + 4a)
Note que en el paréntesis se escribe el polinomio de manera que multiplicado por el factor común nos vuelve a dar el polinomio original. En matemáticas financieras para una expresión del tipo:
(1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3
Podemos sacar como factor común (1 + i) y quedaría (1 + i) [1 + (1 + i) + (1 + i)2]
Transposición de términos
Si un número está sumando en un miembro, pasa al otro miembro restando y viceversa. Si un número está en un miembro multiplicando pasa al otro miembro dividiendo y viceversa. Podemos demostrar estas relaciones despejando la x de la siguiente expresión:
En matemáticas financieras, despejando términos podemos derivar fórmulas a partir de otras.
Común denominador
En las fracciones en que el denominador es el mismo, podemos expresarlo como común denominador:
De la misma manera, pueden separarse los dos términos del numerador en dos fracciones, respetando el denominador:
En matemáticas financieras, a menudo deberemos sacar el común denominador de expresiones tales como:
También puede ser útil separar los términos del numerador para poder obtener una sola n en la expresión:
Recordad, también, que en matemáticas:
Por ejemplo,
Este tipo de operación es común en los despejes que se realizan en las fórmulas que involucran pagos constantes, como las denominadas rentas o anualidades.
Propiedad distributiva de la multiplicación
El producto de una suma indicada de números enteros por otro número entero es igual a la suma de los productos de cada sumando por dicho número,
a (c + d) = ac + ad
y con respecto a la resta de números enteros,
a (c − d) = ac − ad
Potencias
Cuando (a·a·a·a·a) se abrevia como a5, se dice que a es una base y que 5 es un exponente. Las leyes matemáticas de los exponentes son:
a. Suma de exponentes:
La aplicamos cuando tenemos dos factores con la misma base:
b2b3 = b2+3 = b5
Por ejemplo, será común utilizar expresiones tales como (1+i)2 × (1+i)3 = (1+i)5
b−8b6
