factores con exponentes negativos aparecen cuando queremos expresar un factor de descuento. Por ejemplo, si queremos expresar el valor presente de un euro con una tasa de interés del 10 %:
b. Resta de exponentes:
La aplicamos cuando tenemos dos factores con la misma base, al igual que en la suma de exponentes:
c6 : c4 = c6−4 = c2;– c5 : c9 = c5−9 = c−4
Por ejemplo,
c. Multiplicación de exponentes:
(a4) = a4×3 = a12
(a−2)−5 = a(−2)x(−5) = a10
d. Exponente cero: el resultado es siempre 1 (uno).
a0 = 1
e. Exponente negativo: significa invertir la base.
f. Transposición de exponentes al otro miembro:
Cuando los exponentes pasan al otro miembro mantienen el signo, pero se invierten. Por ejemplo, el exponente −2 de la primera expresión pasa al otro miembro como −1/2.
g. Exponente fraccionario: implica escribir la base como una operación de radicación en la cual el índice es el denominador del exponente.
Por ejemplo, un factor con una tasa de interés del tipo (1+i)1/3 también puede exponerse como
h. Radicación:
Progresiones aritméticas
Una sucesión numérica forma una progresión aritmética cuando sus términos se van obteniendo al sumarle al anterior un número constante (r) llamado razón de la progresión. Suponga la siguiente sucesión numérica: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26. Es fácil ver que la razón es 3. Los préstamos por sistema de amortización alemán constituyen un ejemplo de progresión aritmética decreciente, ya que los intereses se reducen en una suma fija período a período.
El cálculo de un término cualquiera an de la progresión se puede calcular haciendo:
an = a1 + r(n − 1)
Así, el 7.º término será: a7 = 2 + (3x6) = 2 + 18 = 20
Suma de todos los términos: se obtiene mediante la fórmula:
En el ejemplo dado, será:
Progresiones geométricas
Son aquellas en las cuales cada uno de los términos se obtiene multiplicando al anterior por un número constante q llamado razón. La progresión 3, 6, 12, 24, 48, 96 es geométrica de razón q = 2, pues cada término es igual al anterior multiplicado por 2. Por ejemplo, los intereses que se acumulan en el régimen de interés compuesto, constituyen una progresión geométrica creciente. También el valor presente de las cuotas de un préstamo constituye una progresión geométrica, que en este caso es decreciente.
El cálculo de un término cualquiera an se puede obtener directamente haciendo:
an = a1qn−1
En el ejemplo 0, el 5.º término es:
a5 = 3.24 = 3 × 16 = 48
Suma de todos los términos: en una progresión geométrica finita, la suma de los términos de esta se calcula con las siguientes fórmulas:
Si la progresión geométrica tiene infinitos términos, con una razón 0 < q < 1, la última fórmula expresada se transforma del siguiente modo:
Observe que en el 2.º término del resultado, si n→∞ entonces qn→0 por ser 0 < q < 1, con lo cual, se anula todo ese término y queda:
Función exponencial
A la función f(x) = bx, donde b > 0, b ≠ 1 y el exponente x es cualquier número real, se la denomina función exponencial con base b. En la figura 1.5, se muestran las gráficas de dos funciones exponenciales, donde se puede observar que existen dos formas básicas, dependiendo de si la base b > 1 o bien b < 1. Si b > 1, entonces la gráfica de y = 2x asciende de izquierda a derecha; es decir, al aumentar x también se incrementa y, mientras que la función y = (1/2) desciende de izquierda a derecha, es decir, que al aumentar x disminuye el valor de y. A la función ascendente, se la puede asimilar al monto a interés compuesto (1+i)n y a la función descendente se la puede asimilar a la función 1/(1+i)n.
Figura 1.5 Función exponencial.
La función exponencial natural
Uno de los números más útiles como base para las funciones exponenciales es el número irracional denotado por la letra e en honor al matemático suizo Leonard Euler. Sus primeras cifras son 2,718281. Aunque este número parece raro para ser la base de una función exponencial, es muy utilizado en finanzas y en economía, principalmente para modelizar funciones de crecimiento y disminución
