наших представлений; этот вывод, как мне кажется, прост и ясен. То, что принцип, лежащий в основе всех наших умозаключений, даже в комбинациях, считающихся самыми трудными в учебниках логики, применяется с быстротой и уверенностью самими детьми и самыми неграмотными, как только дело, то есть идеи, с которыми нужно оперировать, становятся совершенно ясными, является достаточным доказательством. Нет более убедительного доказательства, чем то, что каждый человек, даже не имея никакого представления о теоретической формулировке вывода и не умея хорошо сформулировать нерв доказательства, тем не менее делает правильный вывод, как только его представления о предмете становятся ясными. Каждый школьник тысячу раз убеждался, что мальчик, только что высказавший самое глупое умозаключение, приходит к правильному выводу, если ему удается изложить то же самое умозаключение с помощью простых идей, с которыми мальчик хорошо знаком. Тогда он, несомненно, делает правильный вывод! Часто, однако, он снова терпит неудачу, когда нужно применить трудный материал, но это только потому, что он сам по себе еще не ясен ему, потому что при словах учителя, возможно, добросовестно заученных им, он либо вообще ничего не представляет, либо представляет себе что-то неправильно, не знает еще, как сделать необходимую абстракцию, или, особенно в связи с несколькими абстрактными идеями, не может удержать их, но всегда теряет одну, пытаясь додумать другую.
Именно то, что наиболее знакомо и очевидно, часто упускается из виду и не принимается близко к сердцу. То, что эти принципы, лежащие в основе всех рассуждений, являются единственными, которые не могут быть доведены до понимания мальчика или подрастающего юноши в общей формулировке правила, но сначала только путем обращения к сознанию, путем ссылки на то, что каждый естественно делает сам по себе в индивидуальном случае, неопровержимо доказывает, что они сами по себе, принадлежащие к природе души, не усваиваются, что против них не совершается никакой ошибки, но что неясность понятий всегда является источником ошибки.
Поэтому – простите школьнику это отступление – поэтому очень глупо полагать, что польза математики заключается главным образом в наглядности законов дедукции. Эта польза будет сравнительно очень мала. Сущность образования, которое должно быть получено, заключается в ясности понятий, или, вернее, в обладании средствами и правильным методом, прежде всего живым чувством необходимости понимать переданные понятия, все более и более уточнять и углублять их. Учение об инференциальных фигурах не лишено пользы; но после того, как оно представлено и понято, бесполезно тратить драгоценное время на разбрасывание силлогизмов, вместо того чтобы вникать в понятия и прочитанные мысли. Но теперь вернемся к сути. Мы видим, что было бы лучше отказаться от различия между материальной и формальной ошибкой. Под этим подразумевается не совсем
