Archimedes wog also die Goldkrone und maß das Volumen der verdrängten Wassermenge.
Angenommen, die Goldkrone wog nach den heute geltenden Maßeinheiten 200 Gramm und verdrängte 12 Milliliter Wasser, so hätte Archimedes deren Dichte wie folgt errechnet:
Mit der oben angegebenen Dichte von Gold ergäbe sich ein Goldgehalt von
Demnach hätte der Schmied kein reines Gold verwendet.
König Hieron bestrafte den betrügerischen Goldschmied hart, denn er wollte ein Exempel statuieren, um künftige Betrüger abzuschrecken.
Im antiken Griechenland konnte ein auf frischer Tat ertappter Dieb getötet werden. Ob Hieron den Goldschmied hinrichten ließ, ist jedoch nicht überliefert.
Das archimedische Prinzip
Die von Archimedes angewandte Methode der Dichtebestimmung wird noch heute als „archimedisches Prinzip“ in der Physik gelehrt. Dieses Prinzip gilt in allen Flüssigkeiten und auch in Gasen.
Schiffe verdrängen Wasser und erhalten dadurch Auftrieb. Wegen des großen Hohlraums eines Schiffes, ist dessen mittlere Dichte geringer als die Dichte des verdrängten Wassers. Daher schwimmt es an der Oberfläche.
Ballone und Luftschiffe werden mit einem Gas (meist Helium) befüllt, dessen Dichte geringer ist als die der atmosphärischen Luft.
In Heißluftballons wird die Luft in der Ballonhülle mit Hilfe von Gasbrennern erhitzt, wodurch die Luftdichte abnimmt, da die Luftteilchen durch die Wärmebewegung mehr Volumen beanspruchen und damit die Dichte kleiner wird.
Wird demnach ein größeres Volumen in den Nenner der Gleichung
Ragin bewundert viele weitere interessante Erkenntnisse von Archimedes, die bis heute eine wichtige Rolle in den Naturwissenschaften und der Mathematik spielen.
Die Kreiszahl π
So war es bis ins Mittelalter nicht möglich, die Fläche oder den Umfang eines Kreises exakt zu berechnen. Bereits lange vor Archimedes war den Gelehrten allerdings bekannt, dass das Verhältnis zwischen Kreisumfang und Kreisdurchmesser eine Konstante sein müsste.
Doch erst Archimedes näherte sich dem Wert der Kreiszahl π ziemlich genau.
Dazu zeichnete er in und um einen Kreis Vielecke mit 6, 12, 34, 48 und 96 Seiten. Der Umfang der Vielecke, die im Kreis lagen, wurde immer größer, der Umfang der Vielecke, die um den Kreis gezeichnet waren, wurde immer kleiner. So konnte Archimedes den Wert von π eingrenzen.
Es ist bekannt, dass die Seitenlänge eines in einen Kreis einbeschriebenen regelmäßigen Sechsecks gleich der Länge des Radius des Umkreises ist.
Dies konnte sich schon Archimedes in seinem „Sandkasten“ herleiten:
Im Kreis befinden sich sechs Dreiecke mit jeweils einem Mittelpunktswinkel von 360° : 6 = 60°. Es ist erkennbar, das die Schenkel der Dreiecke mit dem Kreisradius identisch sind.
Da die Basiswinkel gleichschenkeliger Dreiecke gleich groß sind, müssen auch diese Winkel eine Größe von 60° haben, weil die Winkelsumme eines Dreiecks 180° beträgt.
Damit liegen sechs gleichseitige Dreiecke vor, weshalb die Seitenlängen des Sechsecks gleich der Länge des Kreisradius sein müssen. Was zu beweisen war.
Archimedes wusste, dass das Verhältnis zwischen Kreisumfang u und Kreisdurchmesser 2 r eine Konstante π sein soll. Daher berechnete er den Kreisumfang über dieses Verhältnis:
u(Kreis) : (2·r) = π ⇒ u(Kreis) = 2·r·π
Weil die Seiten des Sechsecks die Länge r aufweisen, hat das Sechseck einen Umfang von 6r:
u(Sechseck)= 6·r
Die Kreiszahl π lässt sich nun mit den beiden Umfängen abschätzen:
Mit der Abbildung des in den Kreis einbeschriebenen Sechsecks ist ersichtlich, dass der Umfang dieses Sechsecks kleiner als der des Kreises ist. π muss also größer als die Zahl 3 sein.
Archimedes verdoppelte nun die Anzahl der Ecken und wählte ein Zwölf-Eck, dessen Umfang dem Kreisumfang noch ähnlicher wurde. Diese Verdoppelung führte er bis zu einem 96-Eck durch und fand damit heraus, dass π zwischen den Werten 3,140845 und 3,142857 liegen sollte.
Verglichen mit dem heute bekannten Wert von π ≈ 3,14159265…, lieferte die Annäherung über Vielecke, bereits vor über 2200 Jahren, ein erstaunlich gutes Ergebnis.
Die archimedische Schraube
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Mit einer ebenfalls nach Archimedes benannten Schraube, kann Wasser befördert werden und beispielsweise Felder bewässert oder Sumpfgebiete entwässert werden.
Bis heute sind derartige Anlagen im Einsatz.
Der Kampf um Syrakus und Archimedes‘ Tod
Archimedes letzte Jahre waren der Verteidigung von Syrakus (Sizilien) gegen angreifende römische Armeen gewidmet. Drei Jahre lang belagerten Seestreitkräfte die Stadt. Doch immer wieder wurden die römischen Angriffe von Kriegsmaschinen zurückgeworfen, die Archimedes entworfen hatte.
Beispielsweise hatte er einen Greifarm entwickelt, mit dem ein römisches Schiff gepackt, hoch gehoben, fallen gelassen und damit schwer beschädigt werden konnte. Bei dieser Konstruktion nutzte Archimedes die von ihm entwickelten Hebelgesetze aus.
Quelle: anderegg-web.ch
„Gebt mir einen festen Punkt, und ich hebe die Welt aus den Angeln.“
Mit solchen stolzen Worten soll er die von ihm erarbeiteten Hebelgesetze gepriesen haben. Mit diesen Formeln hatte er eine entscheidende Grundlage für die Entwicklung der Mechanik geschaffen.
Archimedes konstruierte auch Metallreflektoren, welche die Segel der angreifenden römischen Schiffe mit Hilfe von gebündelten Sonnenstrahlen vom Land her in Brand setzen konnten.
Trotz der genialen Verteidigungsgeräte von Archimedes gelang es den Römern im Jahre 212 v. Chr. nach dreijähriger Belagerung, die
