2.16 unten für ein Plattenelement kann die Ansatzfunktion w(ξ, η) wie folgt formuliert werden:
Die Formfunktionen f1(ξ), f2(ξ), f3(ξ) und f4(ξ) sind in Bild 2.12 zusammengestellt. f1(η), f2(η), f3(η) und f4(η) erhält man, wenn die dimensionslose Ordinate ξ durch η ersetzt wird.
Bild 2.18 Rechteckiges Plattenelement mit 4 Knoten und 16 Knotenfreiwerten
Die Durchbiegungsfunktion gemäß Gl. (2.58) für das Rechteckelement in Bild 2.18 enthält 16 Freiwerte (4 Knoten, in jedem Knoten w, w′, w• und w′•). Dieses Element hat sich für die Untersuchungen von Plattenbeulproblemen seit vielen Jahren bewährt. Es wird davon abgeraten, Elemente zu verwenden, die nur die drei Freiwerte w, w′ und w• in den Knoten berücksichtigen. Mit diesem Elementtyp sind bei einigen Problemstellungen völlig falsche Ergebnisse erzielt worden, da auf den Freiheitsgrad Verdrillung (w′•) nicht verzichtet werden kann. In [31] wird ausführlich untersucht und diskutiert, welche Elemente für die Plattenbiegung geeignet sind. Dort wird gefolgert, dass das Rechteckelement mit 16 Freiheitsgraden die konsequente Erweiterung der eindimensionalen auf zweidimensionale Formfunktionen ist und daher für die Untersuchung rechteckiger Platten am besten geeignet ist.
2.5.5 Eindimensionale Funktionen für Querschnitte
Bei der Untersuchung von Querschnitten müssen die Verschiebungen u(x, s) in Längsrichtung von Stäben ermittelt werden. Als Beispiel zeigt Bild 2.19 die Verschiebungen u eines C-Querschnittes infolge Verdrillung ϑ′(x) . Da der C-Querschnitt dünnwandig ist, wird nur seine Mittellinie betrachtet und wie üblich anstelle der Querschnittskoordinaten y und z eine Profilordinate s verwendet.
Bild 2.19 Verschiebungen infolge Verdrillung ϑ′
Die Profilmittellinien von Querschnitten sind in der Regel abschnittsweise geradlinig. Querschnitte werden daher in abschnittsweise gerade Einzelteile aufgeteilt. Im Sinne der FEM handelt es sich dabei um geradlinige Querschnittselemente mit konstanter Blechdicke t. Zur Beschreibung der Verschiebungen u in der Querschnittsebene werden eindimensionale Lagrangesche Interpolationspolynome verwendet, da es aufgrund der theoretischen Grundlagen zweckmäßig ist, nur die Verschiebungen in ein zelnen Punkten (Querschnittsknoten) und nicht ihre Ableitungen zu berücksichtigen.
In Tabelle 2.4 wird ein Querschnittselement in beliebiger Lage betrachtet und die Profilordinate s durch die dimensionslose Ordinate ξ = (2 ⋅ s/ℓ ‒ 1) ersetzt. ξ wird hier als Ordinate in der Querschnittsebene verwendet. Prinzipiell ist sie mit ξ = x/ℓ bei Stabelementen vergleichbar, wobei sie jedoch bei den Stabelementen die Längsrichtung beschreibt. Der Nullpunkt der dimensionslosen lokalen Querschnittsordinate ξ wird in der Mitte des Querschnittselements angenommen und in Tabelle 2.4 Linien elemente mit zwei, drei und vier Knoten betrachtet. Im Gegensatz zu den Stabelementen wird hier der Ursprung von ξ in die Mitte des Elements gelegt, weil für die zweidimensionalen Querschnittselemente numerische Integrationen erforderlich sind und diese Lage dafür zweckmäßig ist. Im Sinne einer einheitlichen Darstellung wird sie hier auch für die eindimensionalen Querschnittselemente verwendet.
Tabelle 2.4 Lagrangesche Interpolationspolynome für Linienelemente
Bild 2.20 Funktionsverlauf von Formfunktionen bei Lagrangeschen Interpolationspolynomen
Der Funktionsverlauf der Verschiebung u ergibt sich für ein Linienelement mit n Knoten aus den Formfunktionen fi und den Knotenverschiebungen ui wie folgt:
(2.59)
Bild 2.20 zeigt den Verlauf ausgewählter Formfunktionen. Mit den folgenden Grundsatzüberlegungen wird gezeigt, welche Funktionsverläufe für die zutreffende Erfassung der unterschiedlichen Problemstellungen in Kapitel 7 benötigt werden.
Wölbordinate ω
Ein Ziel bei der Untersuchung von Querschnitten ist es, die normierte Wölbordinate ω, die durch die Beziehung
die Verschiebungen u mit der Verdrillung ϑ' eines Querschnitts verknüpft, zu bestimmen (vgl. Abschnitt 7.3 und 7.4.1). Für dünnwandige offene Querschnitte gilt nach [12] zur Bestimmung der Wölbordinate:
Bei dünnwandigen geschlossenen Querschnitten ist Gl. (2.61) wie folgt zu erweitern:
In Gl. (2.62) sind die Parameter ψi die Torsionsfunktionen der Hohlzellen, [57]. Geht man von Querschnitten aus, die sich aus ebenen Blechen zusammensetzen, ist der Abstand rt vom Schubmittelpunkt zur Tangente an der Profilmittellinie bei jedem Blech bzw. Querschnittselement konstant. Gleiches gilt für den Faktor ψ einer Hohlzelle, so dass die Integration über die Profilordinate s für jedes Querschnittselement einen linear veränderlichen Verlauf von ω liefert. Beachtet man zudem, dass für einen Querschnitt ϑ' konstant ist, wird mit Gl. (2.60) deutlich, dass u ebenfalls einen linear veränderlichen Verlauf hat, vgl.
