Finite-Elemente-Methoden im Stahlbau. Matthias Krauß

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(2.15) und (2.19) die gleichen Lösungsfunktionen.

2.5 Ansatzfunktionen für die Verformungen

       2.5.1 Grundsätzliches

Ansatzfunktionen für die Beschreibung der Verformungen müssen geeignet sein, die bei einem Tragwerk möglichen Verformungen in zutreffender Weise zu erfassen. Fast ausschließlich werden als Funktionsverläufe Polynomfunktionen verwendet, die diese zentrale Forderung in vielen Anwendungsfällen exakt erfüllen. Bei einigen praxisrelevanten Aufgabenstellungen sind sie jedoch nur Näherungen und erfordern daher eine genügend feine FE-Modellierung, damit die Genauigkeit der Rechenergebnisse ausreichend ist. Beispiele dazu sind das Biegeknicken von Stäben und andere Fälle, die in Abschnitt 2.5.3 angesprochen werden.

      Ein weiterer wichtiger Punkt ist die Erfassung der Randbedingungen, wobei geometrische und physikalische Randbedingungen unterschieden werden. Die Ansatzfunktionen sollten zweckmäßigerweise so gewählt werden, dass die Verformungsgrößen in den Knoten unmittelbar die Berücksichtigung der geometrischen Randbedingungen ermöglichen. Bei Biegung um die y-Achse bedeutet dies beispielsweise, dass die Verschiebung w_M und die Verdrehung als Knotenfreiwerte in den Ansatzfunktionen enthalten sein sollten. Physikalische Randbedingungen sind Bedingungen für die Schnittgrößen an den Rändern oder Enden von baustatischen Systemen. Als Beispiel zur Biegung soll hier die Randbedingung M_y = 0 an einem Stabende betrachtet werden. Aus Tabelle 2.3 liest man ab, so dass aus M_y = 0 unmittelbar folgt. Man kann natürlich Krümmungen oder vergleichbare Größen, die zu physikalischen Randbedingungen bzw. entsprechenden Schnittgrößen korrespondieren, als Knotenfreiwerte in den Ansatzfunktionen berücksichtigen. Dies ist vereinzelt in FE-Programmen umgesetzt worden, hat sich aber nicht allgemein durchgesetzt, da damit gewisse Nachteile verbunden sind. Beim Weggrößenverfahren sollten daher in der Regel nur Knotenfreiwerte verwendet werden, die zu den geometrischen Randbedingungen korrespondieren.

2.5.2 Polynomfunktionen für Stabelemente

      Für finite Stabelemente sind Polynomfunktionen von zentraler Bedeutung. Als Beispiel wird die Funktion

      (2.20)

      betrachtet. Diese viergliedrige Polynomfunktion hat den Polynomgrad 3 und Polynomkoeffizienten a₀, a₁, a₂ und a₃. Verkürzt ausgedrückt spricht man auch von „Polynomen“.

      Beanspruchung durch Normalkräfte

      Die DGL für diesen Beanspruchungsfall kann Tabelle 2.3 entnommen werden. Da später nur Stabelemente mit gleichbleibenden Querschnitten betrachtet werden, kann EA = konstant gesetzt werden und es ergibt sich die folgende DGL:

(2.21)

      Die zweimalige Integration dieser DGL liefert:

      (2.22)

Bild 2.11 Stabelement und Funktionen für die Längsverschiebung bei Normalkraftbe-anspruchungen und die Verdrehung bei St. Venantscher Torsion

Wenn man den Fall q_x = 0 betrachtet, ist die genaue Lösung ein Polynom 1. Grades mit einem linear veränderlichen Verlauf von uS(x). Die Integrationskonstanten a₀ und a₁ können mithilfe von Bild 2.11 durch die Längsverschiebungen an den Enden des Stabelementes ersetzt werden. Mit den Randbedingungen u_S(x = 0) = u_Sa und u_S(x = ℓ) = u_Sb ergeben sich die Integrationskonstanten zu:

      (2.23)

      (2.24)

      Wenn man nun die dimensionslose Koordinate ξ = x/ℓ einführt, erhält man die folgende Funktion für die Längsverschiebungen:

      (2.25)

      Da hier nur die Verschiebungen in den Knoten berücksichtigt werden (keine Ableitungen!), entsprechen die Formfunktionen in Bild 2.11 den Koeffizientenfunktionen des Lagrangeschen Interpolationspolynoms für zwei Stützwerte. Formfunktionen werden bei der FEM häufig verwendet. Sie haben korrespondierend zu einer Verformungsgröße den Wert eins, während sich alle anderen Verformungsgrößen, mit denen die Verschiebungsfunktion beschrieben wird, zu null ergeben.

       St. Venantsche Torsion

      Bei wölbfreien Querschnitten ist der Wölbwiderstand I_ω = 0, so dass reine St. Venantsche Torsion auftritt. Für diesen Sonderfall ergibt sich die DGL nach Tabelle 2.3 unter der Annahme GI_T = konst. zu:

      (2.26)

Ein Vergleich mit Gl. (2.21), d. h. mit der DGL für die Längsverschiebung, zeigt die formale Übereinstimmung der beiden Gleichungen. Man erhält daher für die Verdrehungen bei St. Venantscher Torsion den folgenden Funktionsverlauf im Stabelement (s. auch Bild 2.11):

      (2.27)

       Biegung um die z-Achse

      Wenn man gleichbleibende Querschnitte in den Stabelementen annimmt, ist EI_z = konst. und man erhält mithilfe von Tabelle 2.3 folgende Differentialgleichung:

      (2.28)

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