Finite-Elemente-Methoden im Stahlbau. Matthias Krauß

Bild 2.2 Gleichgewicht am Knoten 4

      Betrachtet man die aus den virtuellen Verrückungen und entstehenden virtuellen Arbeiten getrennt voneinander, so ergeben sich drei Gleichgewichtsbedingungen, die in Bild 2.2 angegeben werden. Die Ausdrücke in den runden Klammern müssen gleich null sein. Dies entspricht den Bedingungen des „klassischen“ Knotengleichgewichts für Σ F_X = 0, Σ F_Z = 0 und Σ M_Y = 0.

      Da man das Gleichgewicht in analoger Weise an jedem Knoten eines Tragwerks bilden kann, erhält man für den ebenen Rahmen mit fünf Knoten in Bild 2.1 insgesamt 15 Bedingungen, durch die das Gleichgewicht des Rahmens erfasst wird. Die Forderung, dass an jedem Knoten eines Tragwerks die virtuelle Arbeit gleich null sein muss, ist ein zentraler Bestandteil der FEM.

Die Bedingungen für das Gleichgewicht an den Knoten reichen nicht aus, um die unbekannten Knotenschnittgrößen bestimmen zu können. Beispielsweise enthalten die 15 Gleichungen für den ebenen Rahmen mehr als 15 unbekannte Knotenschnittgrößen. Zur Lösung des Problems benötigt man daher eine weitere Grundidee. Dazu werden in Bild 2.3 ebenfalls beispielhaft das Stabelement 4 betrachtet und sechs Beziehungen zwischen den lokalen Stabendschnittgrößen und den korrespondierenden Verformungsgrößen aufgestellt. Ihre Herleitung auf Grundlage der virtuellen Arbeit gehört zum Kern der FEM und des Weggrößenverfahrens und wird in Abschnitt 3.2 für Stabelemente ausführlich behandelt. In Matrizenschreibweise lautet die Elementsteifigkeitsbeziehung unter Berücksichtigung der „Elementlasten“:

(2.2)

In Gl. (2.2) beziehen sich alle Größen auf das lokale x-z-KOS des Stabelementes. Die Transformation in das globale X-Z-KOS wird in Abschnitt 3.4 ausführlich behandelt; als Ergebnis erhält man:

(2.3)

Bild 2.3 Stabendschnittgrößen von Element 4

Bild 2.4 Transformation der lokalen Knotenverschiebungsgrößen von Stabelement 4 in das globale X-Z-Koordinatensystem

Eine anschauliche Interpretation von Gl. (2.3) gelingt mithilfe von Bild 2.4. Dort werden die lokalen Knotenverschiebungsgrößen von Stabelement 4 in das globale XZ-KOS transformiert, so dass sie durch die Größen im globalen System ersetzt werden können. Da dies in vergleichbarer Weise auch für die Schnittgrößen erfolgen kann (s. Abschnitt 3.4.1), ist es nun möglich, die Schnittgrößen in den Bedingungen für das Knotengleichgewicht zu ersetzen. Diese Vorgehensweise ist anschaulich erkennbar, wenn man beispielsweise die Knotenschnittgrößen am Knoten 4 von Element 4 in Bild 2.2 betrachtet, mit den Stabendschnittgrößen in Bild 2.3 vergleicht und Transformationen wie in Bild 2.4 durchführt. Als Ergebnis können die Gleichgewichtsbedingungen an allen Knoten zu einem Gleichungssystem zusammengefasst werden, s. Bild 2.5:

      (2.4)

Bild 2.5 Gleichungssystem für den ebenen Rahmen in Bild 2.1

      Für den ebenen Rahmen in Bild 2.1a erhält man das in Bild 2.5 dargestellte Gleichungssystem, das aus 15 einzelnen Gleichungen besteht, die den auf der linken Seite aufgeführten virtuellen Verschiebungsgrößen zugeordnet und in Matrizenschreibweise zusammengefasst sind. Die Gesamtsteifigkeitsmatrix enthält dabei die vier Stabelemente, die durch die 6×6-Elementmatrizen gekennzeichnet sind. Wie man sieht, ergibt sich eine Überlappung der Elementmatrizen an den gemeinsamen Knoten (Verbindungsknoten), so dass in diesen Bereichen ihre Werte aufaddiert werden. Die Punktfeder C_w3 im Knoten 3 ist ebenfalls in der Gesamtsteifigkeitsmatrix zu berücksichtigen. Die Federkraft F_ZC3 wirkt entgegengesetzt zur Auflagerreaktion F_ZR3 in Bild 2.1c und kann durch

      (2.5)

ersetzt werden. Sie korrespondiert zu , so dass zu dem Hauptdiagonalelement in der 8. Zeile der Wert von C_w3 hinzu zu addieren ist.

      Der Vektor enthält die 15 Verschiebungsgrößen in den fünf Knoten, die in Bild 2.1d dargestellt sind. Im Gesamtlastvektor sind die Lastgrößen und die Auflagerreaktionen zusammengestellt. Dabei beziehen sich die Vorzeichen, wie bereits er-wähnt, auf das globale X-Z-KOS in Bild 2.1b.

      Zur Lösung des Gleichungssystem in Bild 2.5 müssen die geometrischen Randbedingungen, d. h. die fünf Auflagerbedingungen, berücksichtigt werden. Wegen

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