wobei für die Verschiebungen die Gln. (1.1) bis (1.3) berücksichtigt werden. Außerdem gilt wegen der Vernachlässigung sekundärer Schubverformungen (1.4b)
(1.4c)
(1.4d)
(1.4e)
(1.4f)
Werkstoffgesetz und Spannungen
Mit dem Werkstoffgesetz wird der Zusammenhang zwischen Spannungen und Verzerrungen beschrieben. Unter Vernachlässigung der Querdehnungen ergeben sich mit dem Hookeschen Gesetz, also dem Materialgesetz für isotropes, linearelastisches Werkstoffverhalten, und den Verzerrungen der Gln. (1.4) folgende Spannungen:
(1.5)
(1.6)
(1.7)
Schnittgrößen
Die Spannungen können zu resultierenden Schnittgrößen zusammengefasst werden. Dabei ist zu beachten, dass die Normalkraft und die Biegemomente im Schwerpunkt angreifen, während die Querkräfte, die Torsionsmomente und das Wölbbimoment im Schubmittelpunkt wirken, vgl. Bild 1.8.
Tabelle 1.4 Schnittgrößen als Resultierende der Spannungen
Aufteilung der linearen Theorie schubstarrer Stäbe in vier Teilprobleme
In Tabelle 1.5 sind vier Teilprobleme ‒ zweiachsige Biegung mit Normalkraft und Wölbkrafttorsion ‒ der linearen Theorie schubstarrer Stäbe zusammengestellt. Die Tabelle enthält eine Zuordnung der Lastgrößen, Verformungen und Schnittgrößen sowie Angaben zum Gleichgewicht am Stabelement und zur Normalspannung σx.
Tabelle 1.5 Aufteilung der linearen Stabtheorie nach [12]
1.7 Linearisierung
Wie im Abschnitt 1.4 erläutert, wird das Gleichgewicht bei geometrisch nichtlinearen Berechnungen am verformten System formuliert. Dabei entstehen für die Beschreibung von Verformungen und den damit zusammenhängenden Verzerrungen nichtlineare Beziehungen in Form von trigonometrischen Funktionen. Allgemein lassen sich diese nach [4] durch folgende Reihen entwickeln, was beispielhaft an einer Verdrehung φ veranschaulicht wird:
(1.8)
Bei der Theorie II. Ordnung werden die auftretenden geometrischen (trigonometrischen) Beziehungen zur Beschreibung der Verformungen linearisiert, so dass die Theorie damit ein Gleichgewicht am „schwach“ verformten System widerspiegelt, s. Tabelle 1.3. Definitionsgemäß werden als Näherung bei der Formulierung entsprechender Gleichgewichtsbeziehungen höchstens zweifache Produkte der Verformungen berücksichtigt, so dass im Sinne der Linearisierung maximal quadratische Terme einer Verformung auftreten:
(1.10)
Da von kleinen Verformungen ausgegangen wird, entstehen durch die höheren Reihenglieder Ausdrücke, die im Hinblick auf die Genauigkeit von untergeordneter Bedeutung sind. Bei linearen Formulierungen (vgl. Tabelle 1.3) werden die trigonometrischen Beziehungen stets durch das jeweils 1. Reihenglied beschrieben:
(1.12)
(1.13)
In den Abschnitten 2.4.2 und 4.3 wird das Gleichgewicht für Stäbe mithilfe des Prinzips der virtuellen Arbeiten formuliert. In den entstehenden Arbeitsgleichungen werden entsprechende Linearisierungen vorgenommen. Um hierzu einen Überblick zu verschaffen, soll am Beispiel der inneren virtuellen Arbeit infolge der Normalspannungen an dieser Stelle vorab die Linearisierung verdeutlicht werden. Gemäß Abschnitt 2.4.2 leisten die Normalspannungen an den virtuellen Verzerrungen Arbeit:
Die Dehnung einer Faser in der verformten Lage kann nach Abschnitt 4.3 und den Gln. (4.28) bzw. (4.29) durch folgende kinematische Beziehung beschrieben werden:
Die in Gl. (1.15)
