style="font-size:15px;"> • Flächenelemente (viereckig oder dreieckig, gerade oder gekrümmte Ränder)
verwendet.
Für die Berechnung von Tragwerken aus Baustahl werden fast ausschließlich Stabelemente verwendet (s. Bild 1.3a), die häufig Bestandteil der folgenden baustatischen Systeme sind:
• einfeldrige und durchlaufende Biegeträger
• Stützen und ebene Rahmen
• ebene und räumliche Fachwerke
• räumliche Stabtragwerke
• Trägerroste
Die hier aufgeführten baustatischen Systeme kommen vornehmlich im Hoch-, Industrie- und Anlagenbau vor. Sie erfordern aufgrund unterschiedlicher Beanspruchungen Stabelemente mit bis zu sieben Verformungsgrößen in den Knoten (Knotenfreiwerte). Auf die Anzahl der erforderlichen Verformungsgrößen pro Knoten wird in den Kapiteln 3 und 5 näher eingegangen.
Stabelemente sind auch für die Berechnung von Brücken die üblichen finiten Elemente. Ob Vollwandträger-, Fachwerkbalken-, Stabbogen- oder Schrägseilbrücken, Flächenelemente (Scheiben, Platten, Schalen) werden nur selten verwendet. Ein wesentlicher Hintergrund dazu ist, dass die aktuellen Vorschriften fast ausschließlich auf die Berechnung mit Stabtragwerken abgestimmt sind. Hinzu kommt, dass die Genauigkeit dieser Berechnungen von Ausnahmen abgesehen völlig ausreichend ist.
Ein durchaus interessanter Anwendungsbereich von finiten Flächenelementen im Stahlbau ist das Plattenbeulen. Bild 1.3b zeigt beispielhaft den Obergurt eines Stabes, der für die Untersuchung des Plattenbeulens in finite Elemente eingeteilt worden ist. Das Thema wird in Kapitel 5 behandelt und dort ein rechteckiges Plattenelement für die Berechnung von Eigenwerten und Eigenformen hergeleitet. Ansonsten werden Flächenelemente bei wissenschaftlichen Untersuchungen und Entwicklungen gezielt eingesetzt. Da, wie erwähnt, Flächenelemente nur selten und Volumenelemente praktisch gar nicht im Stahlbau zum Einsatz kommen, soll hier zusammenfassend Folgendes festgehalten werden:
• Tragwerke des Stahlbaus werden fast ausschließlich mithilfe von Stabelementen berechnet.
• Es werden unterschiedliche Stabelemente benötigt, damit alle vorkommenden Tragwerks- und Beanspruchungsarten zutreffend untersucht werden können.
Finite Elemente für die Untersuchung von Stabquerschnitten werden in Kapitel 7 behandelt. Als Beispiel dazu ist in Bild 1.3c die FE-Modellierung eines gewalzten I-Querschnitts durch krummlinig berandete Flächenelemente dargestellt.
1.4 Lineare und nichtlineare Berechnungen
Lineare Berechnungen (Theorie I. Ordnung) bilden in der Regel gedanklich und rechnerisch den Ausgangspunkt. Grundlage sind dabei folgende Annahmen:
• Der Werkstoff verhält sich im gesamten Tragwerk linearelastisch, d. h., es gilt uneingeschränkt das Hookesche Gesetz.
• Der Einfluss von Tragwerksverformungen ist so gering, dass sie vernachlässigt werden können und die Gleichgewichtsbeziehungen am unverformten System formuliert werden dürfen.
• Strukturelle und geometrische Imperfektionen, d. h. Eigenspannungen, Vorkrümmungen und Vorverdrehungen, können vernachlässigt werden.
Nichtlineare Berechnungen erfordern in der Regel einen höheren Aufwand als lineare. Man unterscheidet physikalische und geometrische Nichtlinearitäten. Bei der physikalischen Nichtlinearität wird die Annahme „linearelastisches Werkstoffverhalten“ aufgegeben und das Plastizieren von Tragwerksteilen berücksichtigt, weil dann wirtschaftlichere, d. h. leichtere Konstruktionen ausgeführt werden können. Sofern das Plastizieren nur bei der Tragfähigkeit der Querschnitte ausgenutzt wird, ist diese Vorgehensweise der Nachweismethode 2 in Tabelle 1.1 zuzuordnen. Die Schnittgrößen werden nach der Elastizitätstheorie berechnet („elastische“ Tragwerksberechnung) und maximal ein Lastzustand zugelassen, bei dem sich ein Fließgelenk bildet. Im Gegensatz dazu werden bei der Nachweismethode 3 plastische Tragfähigkeiten der Querschnitte und des Systems ausgenutzt, d. h. es wird die Ausbreitung von Fließzonen oder die Ausbildung mehrerer Fließgelenke zugelassen.
Während das physikalisch nichtlineare Werkstoffverhalten überwiegend aus wirtschaftlichen Gründen berücksichtigt wird, muss die geometrische Nichtlinearität bei stabilitätsgefährdeten Stahlkonstruktionen unter Sicherheitsaspekten unabdingbar erfasst werden. Relativ große Verformungen führen dabei zu größeren Schnittgrößen und höheren Beanspruchungen im Vergleich zu linearen Berechnungen, so dass entsprechende Nachweise zum Biegeknicken, Biegedrillknicken oder Plattenbeulen geführt werden müssen.
Tabelle 1.3 Unterschiede zwischen Theorie I. und II. Ordnung sowie der geometrisch nichtlinearen Theorie nach [31]
| Theorie I. Ordnung (geometrisch lineare Theorie) | Theorie II. Ordnung | Geometrisch nichtlineare Theorie | |
|---|---|---|---|
| Gleichgewicht | am unverformten System | am schwach verformten System | am stark verformten System |
| Stab unter Druckbelastung |
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| Stab unter Druck- und Querbelastung |
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| Wirkliche Verzerrungen | Lineare kinematische Beziehungen | Nichtlineare kinematische Beziehungen | |
| Virtuelle Verzerrungen | |||
