von Reihengliedern, die entsprechend der vorherigen Ausführungen zu maximal zweifachen Produkten der Verformungen führen, vgl. auch Gl. (1.9) mit (1.11). Es handelt sich somit um eine linearisierte kinematische Beziehung. Die lineare Beziehung wird durch den linearen Anteil der Gl. (1.15) beschrieben:
Die virtuellen Verzerrungen δεx ergeben sich aus der 1. Variation der Gln. (1.15) bzw. (1.16). Da für die Variationsrechnung die Regeln der Differentialrechnung gelten, ergibt sich mit der Produktregel:
Wie bei den wirklichen Verzerrungen handelt es sich in Gl. (1.17) um die linearisierte und in Gl. (1.18) um die lineare Beschreibung der virtuellen Verzerrungen.
Gemäß Tabelle 1.3 werden bei der Theorie I. Ordnung (lineare Theorie) die wirklichen und virtuellen Verzerrungen durch die linearen kinematischen Beziehungen nach Gl. (1.16) bzw. (1.18) beschrieben, was mit Gl. (1.14) zur folgenden inneren virtuellen Arbeit der Normalspannungen führt:
Im Hinblick auf die Theorie II. Ordnung wird nach Tabelle 1.3 für die wirklichen Verzerrungen der lineare Zusammenhang nach Gl. (1.16) berücksichtigt, während für die virtuellen Verzerrungen der linearisierte Ausdruck nach Gl. (1.17) genutzt wird. Die innere virtuelle Arbeit nach Gl. (1.19) ergibt sich damit zu:
Mit Gl. (1.20) wird deutlich, dass die gewählte Vorgehensweise erneut zu maximal zweifachen Produkten der Verformungen führt. Würden für die wirklichen Verzerrungen ebenfalls linearisierte (und nicht lineare) Ausdrücke berücksichtigt, hätte dies höhere Produkte der Verformungen zur Folge, die im Sinne der Theorie II. Ordnung keine Berücksichtigung fänden. Im Vergleich zu Gl. (1.19) (der Theorie I. Ordnung) sind in Gl. (1.20) zusätzliche Anteile entstanden, die von den Normalspannungen σx abhängen. Da im Zusammenhang mit den wirklichen Spannungen σx die linearen Verzerrungen definiert sind, handelt es sich dabei formal um den Spannungszustand, der der Theorie I. Ordnung entspricht. Im Zusammenhang mit Abschnitt 4.3 wird deutlich, dass sich durch Lösen der Flächenintegrale dA in Gl. (1.20) entsprechende Schnittgrößen ergeben, die dann auch nach Theorie I. Ordnung in die entstehende Steifigkeitsbeziehung (geometrische Steifigkeitsmatrix) der Theorie II. Ordnung einfließen.
1.8 Software/Downloads
Für die Berechnungsbeispiele in dem vorliegenden Buch und für ergänzende Untersuchungen wurden im Wesentlichen folgende EDV-Programme angewendet:
• FE-STAB
• FE-Rahmen
• FE-Beulen
• FE-STAB-FZ
• QSW-FE
• QSW-FE ML
Hierbei handelt es sich um Programme, die von wissenschaftlichen Mitarbeitern des Lehrstuhls für Stahl-, Leicht- und Verbundbau der Ruhr-Universität Bochum von 1998 bis 2012 erstellt wurden. Informationen zu FE-STAB, FE-Rahmen, FE-Beulen und vielen weiteren Programmen finden sich auf www.ruhr-uni-bochum.de/stahlbau und www.kindmann.de. Sie stehen dort auch zum kostenlosen Download zur Verfügung. Erläuterungen zum Programm FE-STAB-FZ finden sich in Abschnitt 10.7.2. Für Hinweise zu den Programmen QSW-FE und QSW-FE ML wird auf [37] verwiesen.
Zu Vergleichszwecken und für weiterführende Untersuchungen sind auch Berechnungen mit den folgenden Programmen durchgeführt worden:
| • RSTAB | Ing.-Software Dlubal GmbH, Tiefenbach |
| • RFEM | Ing.-Software Dlubal GmbH, Tiefenbach |
| • BT II | Friedrich + Lochner GmbH, Stuttgart |
| • DRILL | FIDES DV-Partner GmbH, München |
| • ABAQUS | ABAQUS, Inc., Providence, Rhode Island, USA |
| • ANSYS | ANSYS, Inc., Canonsburg, Pennsylvania, USA |
| • SOFiSTiK | SOFiSTiK AG, Oberschleißheim |
| • LTBeam | cticm, St Rémy les Chevreuse, Frankreich |
| • EBPlate | cticm, St Rémy les Chevreuse, Frankreich |
Die Programme LTBeam und EBPlate stehen zum kostenlosen Download zur Verfügung, s. www.cticm.com.
Anmerkung: Das Buch „Kindmann/Frickel: Elastische und plastische Querschnittstragfähigkeit“ [12] steht unter www.kindmann.de zum kostenlosen Download zur Verfügung.
