Beschränkung auf signifikante Stellen
Angenommen, Sie haben eine Messung durchgeführt und daraus mit Ihrem Taschenrechner als Ergebnis die Zahl 1,532.984.529.045 berechnet – Ihr Lehrer ist aber von Ihrer Antwort alles andere als begeistert. Warum? Weil man in physikalischen Aufgaben nur signifikante Stellen angibt, um seine Ergebnisse darzustellen. Signifikante Stellen geben die Genauigkeit an, mit der man seine Werte kennt.
Wenn man einen Wert etwa nur auf zwei Stellen genau kennt, so sollte alles, was sich daraus ableiten lässt, auch nur mit zwei signifikanten Stellen angegeben werden – also etwa »1,5« und nicht »1,532.984.529.045« mit 13 Stellen! Ein Beispiel, wie Sie das beherzigen können: Stellen Sie sich vor, ein Skater bewegt sich in 7,0 Sekunden 10,0 Meter weit. Nun sieht man sich die Zahl der Stellen an: Der erste Wert hat zwei signifikante Stellen, der zweite aber drei. Die Regel beim Multiplizieren und Dividieren von Zahlen ist, dass das Resultat genau die Zahl signifikanter Stellen hat, die der kleinsten Anzahl signifikanter Stellen bei den Ausgangszahlen entspricht. Will man also ausrechnen, wie schnell der Skater sich bewegt hat, teilt man 10,0 durch 7,0, und das Resultat darf nur zwei signifikante Stellen haben – 1,4 Meter pro Sekunde.
Auf der anderen Seite ist die Regel beim Addieren und Subtrahieren, dass die letzte signifikante Stelle im Ergebnis durch die Zahl bestimmt wird, deren letzte signifikante Stelle am weitesten links in der Addition steht. Wie funktioniert das? Hier folgt ein Beispiel:
| 5 | , | 1 | |||
| + | 1 | 2 | |||
| + | 7 | , | 7 | 3 | |
| 2 | 4 | , | 8 | 3 |
Ist das Ergebnis 24,83? Nein, ist es nicht. Die 12 hat keine signifikanten Stellen rechts vom Komma; daher sollte die Antwort auch keine weiteren haben. Das heißt, Sie sollten den Wert auf 25 aufrunden.
In der Physik erfolgt das Runden von Zahlen genau wie in der Mathematik: Wenn man beispielsweise auf drei Stellen runden will und die Ziffer der vierten Stelle eine Fünf ist oder darüber, rundet man die dritte Stelle auf. (Die folgenden Stellen beachtet man nicht oder ersetzt sie durch Nullen.)
Sie multiplizieren 12,01 mit 9,7. Wie lautet die Antwort, wenn man sie in signifikanten Stellen ausdrücken soll?
Die richtige Antwort lautet: 120.
1 Im Taschenrechner erscheint die Zahl 116,497 als Ergebnis.
2 Das Resultat muss die gleiche Anzahl an signifikanten Stellen haben wie der Faktor mit den wenigsten signifikanten Stellen. Das ist zwei (weil 9,7 zwei signifikante Stellen hat), daher muss die Antwort auf 120 gerundet werden.
Aufgabe 19
Was ergibt 19,3 multipliziert mit 26,12 unter Berücksichtigung der signifikanten Stellen?
Los geht's!
Aufgabe 20
Wie lautet die Summe aus 7,9, 19 und 5,654 unter Berücksichtigung der signifikanten Stellen?
Los geht's!
Auffrischung einiger Algebra-Kenntnisse
So ist es im Leben nun mal: Man benötigt Algebra zur Lösung der meisten physikalischen Aufgaben. Betrachten wir beispielsweise die folgende Gleichung, die einen Bezug herstellt zwischen der Strecke s, die jemand zurückgelegt hat, der Beschleunigung a, die auf ihn wirkt, und der Zeit t, während der er beschleunigt wird:
Nun stelle man sich vor, dass die Physikaufgabe nach der Beschleunigung und nicht nach dem Weg fragt. Man muss also die Gleichung ein wenig umstellen, um sie nach der Beschleunigung auflösen zu können. Dazu multipliziert man beide Seiten mit dem Bruch 2/t2. Das ergibt
Kürzt man und vertauscht die Seiten, erhält man für a
So geht's zu mit der Algebra. Um zu erhalten, was Sie wissen wollen, müssen Sie die passende Gleichung nach der gewünschten Variablen auflösen. Was machen Sie, wenn Sie beim gleichen Problem die Zeit t interessiert? Sie schreiben die Gleichung auf folgende Weise um:
Das Lehrreiche an diesem Beispiel ist, dass sich alle drei Variablen – Weg, Beschleunigung und Zeit – aus der ursprünglichen Gleichung herausziehen lassen. Soll man sich alle drei Fassungen der Gleichung merken? Natürlich nicht. Man kann sich die erste Form merken und mit ein wenig Algebra die anderen ermitteln.
Die folgenden Fragen werden Ihre Algebra-Kenntnisse auffrischen.
Die Gleichung für die Endgeschwindigkeit ve lautet: ve – va = at. Dabei sind va die Anfangsgeschwindigkeit, a die Beschleunigung und t die Zeit. Wie lautet die entsprechende Gleichung für die Beschleunigung?
Die richtige Antwort ist
Um die Gleichung nach a aufzulösen, teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch
