Trigonometría y geometría analítica. Gonzalo Masjuán

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lo demás, es claro que no debemos olvidar los importantes aportes que hicieron en los inicios de la Trigonometría tanto los babilonios, egipcios, griegos, indios y árabes.

      Avanzando en la Historia, para resumir, tenemos que en el siglo XV d.C. John Muller, conocido como Regiomontano, escribe un tratado completo de trigonometría, llamado “Tratado del triángulo”. Con posterioridad los astrónomos Tycho Brae, Nicolás Copérnico y el geómetra Fran¸cois Vi`ete desarrollaron la trigonometría prácticamente hasta el estado actual, aunque a comienzos del siglo XVII Bartolomé Pitiscus, profesor de la Universidad de Heidelberg, escribió el primer texto que llevó el título de “Trigonometría” y la idea del autor era exactamente exponer lo que el nombre implica: medición de triángulos. Faltaría nombrar a Werner, quien encontró las “fórmulas de prostaféresis”, éstas son las identidades conocidas sobre las sumas y diferencias de senos y cosenos.

1.2Razones trigonométricas

      En la figura 1.1 se considera un determinado ángulo PAQ de medida α -por comodidad no haremos distingo entre ángulo y su medida- y se ha trazado, al arbitrio, la perpendicular en C al lado formándose así el triángulo rectángulo ABC. En la definición que sigue deberemos tener presente este triángulo.

      Fig. 1.1

      Definición 1.2.1 Tomando en cuenta la figura 1.1, se llama:

      (1)coseno del ángulo α al número:

      (2)seno del ángulo α al número:

      (3)tangente del ángulo α al número:

      (4)cotangente del ángulo α al número:

      (5)secante del ángulo α al número:

      (6)cosecante del ángulo α al número:

      A cada uno de estos números se le denomina razón trigonométrica del ángulo α.

       Nota:

      Hacemos notar que estos números llamados razones trigonométricas del ángulo α sólo dependen de α. Esto se debe a que son independientes de la perpendicular trazada en la figura 1.1 (a causa de la semejanza de triángulos rectángulos). O sea, dado un ángulo agudo y positivo α existe uno y sólo un valor para cada razón trigonométrica. En otras palabras, cada razón trigonométrica es una función real con dominio en el intervalo 0 (El lector deberá saber transformar de radianes a grados e inversamente.)

      Teorema 1.2.1 Se tienen las siguientes identidades fundamentales:

       Nota:

      Como se sabe, el complemento de un ángulo es aquel ángulo que junto con α completan 90^◦ ( radianes), o sea:

      o también:

      Por esta causa se acostumbra decir que la función coseno es la cofunción del seno y viceversa; que la cotangente es la cofunción de la tangente y viceversa y, por último, que la cosecante es la cofunción de la secante y viceversa. Es decir:

      Teorema 1.2.2 Los valores de las razones trigonométricas para los ángulos de 30^◦, 45^◦ y 60^◦ son:

      Definición 1.2.2 Los valores de las razones trigonométricas para los ángulos de 0^◦, 90^◦ se definen del modo siguiente:

      Teorema 1.2.3 Para se tiene:

1.3Expresión de cada razón trigonométrica en términos de las restantes

      Ocupando las identidades fundamentales dadas en el teorema [1.1.1] se obtiene el cuadro siguiente:

1.4Resolución de triángulos rectángulos

      Los criterios de congruencia de triángulos, en el caso en que tales triángulos sean rectángulos, nos indican que un triángulo rectángulo quedará determinado dándose dos datos, dentro de los cuales debe haber por lo menos uno que sea lineal (o sea, un lado). Luego, para que un triángulo rectángulo quede determinado bastará considerar alguna de las cinco situaciones siguientes:

      (1)Hipotenusa y ángulo agudo.

      (2)Cateto

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