necesidad de algo que es esencial en matemáticas: la disciplina. Muchos me han preguntado qué sentido tiene que su hijo explique su trabajo si sabe obtener la respuesta correcta. Y mi respuesta es siempre la misma: explicar el propio trabajo es lo que, en matemáticas, llamamos razonamiento, y el razonamiento es fundamental en la disciplina de las matemáticas. Los científicos prueban o refutan las teorías con contextos experimentales, pero los matemáticos demuestran las teorías a través del razonamiento matemático. Necesitan formular argumentos que convenzan a otros matemáticos por medio de razonar cuidadosamente su avance de una idea a otra utilizando conexiones lógicas. Las matemáticas son una disciplina muy social, ya que las demostraciones se producen cuando los matemáticos pueden convencer a otros compañeros de profesión de las conexiones lógicas que han establecido.
Muchas matemáticas son el resultado de colaboraciones entre matemáticos; Leone Burton estudió el trabajo de los matemáticos y descubrió que más de la mitad de sus publicaciones se produjeron en colaboración (Burton, 1999). Sin embargo, muchas aulas de matemáticas son lugares donde los estudiantes rellenan hojas de ejercicios en silencio. Los debates grupales y aquellos en los que participa toda la clase son muy importantes.
Los debates no solo constituyen la mayor ayuda en aras de la comprensión —ya que los estudiantes rara vez comprenden las ideas si no se habla de ellas— y no solo animan la asignatura y hacen que los alumnos se impliquen, sino que también son los encuentros en los que aprenden a razonar y a criticar los razonamientos de los demás. Esto último tiene una importancia capital, actualmente, en los lugares de trabajo en los que se usa la alta tecnología. Casi todos los puestos de trabajo nuevos que se crean en el mundo tecnológico actual implican trabajar con conjuntos de datos ingentes, hacer preguntas sobre dichos datos y razonar sobre procedimientos matemáticos. Conrad Wolfram me dijo que cualquier persona que no sepa concebir razonamientos matemáticos no es valiosa en el mundo laboral de hoy en día. Cuando los empleados razonan determinados procedimientos matemáticos y hablan de ellos, otros individuos pueden desarrollar nuevas ideas basadas en estos procedimientos y analizar si se ha cometido un error. El trabajo en equipo que valoran tanto los empresarios tiene como base el razonamiento matemático. Las personas que se limitan a dar el resultado de cálculos no son útiles en los lugares de trabajo; deben ser capaces de vincularlos a un razonamiento.
También conviene que los alumnos razonen en las clases de matemáticas, porque el hecho de razonar el recorrido hacia la solución de un problema y analizar los razonamientos de otras personas es interesante para ellos. Los estudiantes y los adultos se implican mucho más cuando se les dan problemas de matemáticas abiertos y se les permite idear métodos y procedimientos que si se limitan a trabajar con problemas que lo que requieren es realizar un cálculo y ofrecer una respuesta. Mostraré muchos problemas matemáticos adecuados e interesantes que requieren razonamiento y explicaré algunas formas de diseñarlos en el capítulo cinco.
Otro problema grave al que nos enfrentamos en la enseñanza de las matemáticas es que la gente cree que todo en esta disciplina tiene que ver con el cálculo y que los mejores pensadores matemáticos son aquellos que calculan más rápido. Y algunos creen algo aún peor: que, en el campo de las matemáticas, tienes que ser rápido para ser bueno. En la sociedad está fuertemente arraigada la creencia de que si puedes calcular rápidamente eres una persona a la que se le dan realmente bien las matemáticas y que eres «inteligente». Sin embargo, los matemáticos, que podríamos considerar que son las personas más capaces en matemáticas, a menudo piensan con lentitud. Trabajo con muchos matemáticos, y no son pensadores matemáticos rápidos. No digo esto para faltarles al respeto; son lentos porque piensan con cuidado y profundamente sobre su materia.
Laurent Schwartz ganó la Medalla Fields en matemáticas y fue uno de los mejores matemáticos de su tiempo. Pero en la escuela era uno de los pensadores matemáticos más lentos de su clase. En su autobiografía, A Mathematician Grappling with His Century [Un matemático lidiando con su siglo], publicada en 2001, reflexiona sobre su etapa escolar y afirma que se sintió «tonto» porque su escuela valoraba el pensamiento rápido, mientras que él pensaba de forma lenta y profunda:
Siempre estuve muy inseguro de mi propia capacidad intelectual; pensaba que era poco inteligente. Y es cierto que era, y aún soy, bastante lento. Necesito tiempo para asimilar las cosas porque siempre necesito entenderlas por completo. Hacia el final del undécimo grado [primero de bachillerato] pensaba que era tonto. Pero no se lo dije a nadie. Este tema me tuvo preocupado mucho tiempo.
Sigo siendo igual de lento. […] Al final del undécimo grado, adopté una perspectiva realista de la situación y llegué a la conclusión de que la rapidez no se correlaciona de forma precisa con la inteligencia. Lo importante es comprender profundamente las cosas y las relaciones que mantienen entre sí; en esto consiste la inteligencia. El hecho de ser rápido o lento no es relevante, en realidad. (Schwartz, 2001)
Schwartz escribe, como han hecho muchos otros matemáticos, sobre la representación errónea de las matemáticas en las aulas y sobre que la esencia de las matemáticas son las conexiones y el pensamiento profundo, no el cálculo rápido. Hay muchos alumnos en las clases de matemáticas que piensan de forma lenta y profunda, como él, a quienes se les induce la creencia de que no están hechos para las matemáticas. De hecho, la idea de que las matemáticas consisten en efectuar cálculos rápidos intimida a grandes proporciones de estudiantes, especialmente a las niñas, como comentaré con mayor profundidad en los capítulos cuatro y siete. Pero las matemáticas siguen presentándose como una carrera de velocidad, más que cualquier otra materia: hay exámenes de matemáticas cronometrados, tarjetas de estudio, aplicaciones de matemáticas para operar contra reloj... No es de extrañar que los estudiantes que piensan lenta y profundamente se desanimen con las matemáticas. Personalidades como Cathy Seeley, expresidenta del Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas estadounidense, también están trabajando para disipar la idea de que las matemáticas son solo para los estudiantes rápidos, y ofrecen como alternativa una nueva forma de proceder para que los profesores y los estudiantes trabajen de manera productiva y profunda (Seeley, 2009, 2014). Es muy importante acabar con el mito, tan extendido, de que las matemáticas tienen que ver con la velocidad si queremos que pensadores lentos y profundos como Laurent Schwartz y muchas niñas (Boaler, 2002b) dejen de pensar que las matemáticas no son para ellos. En el siguiente capítulo mostraré cómo se pueden enseñar las matemáticas, particularmente los números y el cálculo, de una manera que destaque el valor de la profundidad y no la velocidad, que mejore las conexiones cerebrales y que haga que muchos más estudiantes se sientan cómodos con esta materia.
Conclusión
He empezado este capítulo hablando de que las matemáticas son distintas de otras asignaturas. Pero la diferencia no radica en la naturaleza de esta materia, como creen muchas personas, sino en algunos conceptos erróneos importantes y generalizados: que las matemáticas son una asignatura caracterizada por las reglas y los procedimientos, que ser bueno en matemáticas significa ser rápido y que la esencia de las matemáticas son los números, las certezas y las respuestas correctas frente a las incorrectas. Estas ideas equivocadas las tienen innumerables profesores, alumnos y padres, y son parte de la razón por la que se ha ido manteniendo la enseñanza tradicional a pesar de ser defectuosa e ineficaz.
Muchos padres odiaban las matemáticas cuando iban a la escuela pero a pesar de ello abogan por la enseñanza tradicional, porque piensan que las cosas deben ser así y que la enseñanza desagradable que experimentaron se debió a la naturaleza engorrosa de las matemáticas. Muchos maestros de las escuelas de primaria han tenido terribles experiencias con esta materia y tienen problemas para impartirla, ya que creen que solo puede enseñarse como un conjunto de procedimientos muy acotados. Cuando les muestro que las verdaderas matemáticas son otra cosa y que no tienen que someter a sus alumnos a las matemáticas que ellos experimentaron, se sienten realmente liberados, y a menudo eufóricos, como se mostrará en el capítulo cinco. Cuando tenemos en cuenta cuántos de los conceptos erróneos que he presentado en este capítulo están presentes en las aulas
