naturales, la resta sólo se puede realizar si el primer número, llamado minuendo, es mayor que el segundo, que recibe el nombre de sustraendo. De este modo, por ejemplo, podremos restar 6 – 2 = 4, pero no podremos restar 7 – 9.
MULTIPLICACIÓN
La multiplicación de dos números naturales siempre da como resultado un número natural y equivale a una suma repetida: 5 · 3 = 5 + 5 + 5 = 15.
Los dos números que se multiplican se llaman factores y el resultado recibe el nombre de producto.
Para calcular el número de localidades de un auditorio podemos multiplicar la cantidad de asientos que hay en cada fila por el número de filas.
DIVISIÓN
La división consiste en repartir una cantidad, llamada dividendo, en un número de partes iguales, denominado divisor. El resultado recibe el nombre de cociente.
Cuando trabajamos únicamente con números naturales, la división no siempre puede realizarse. Con seis libros podemos formar tres grupos de dos. En este caso, decimos que la división es exacta. En cambio, con cinco podremos formar dos grupos y sobrará un libro. En este caso, la división se llama entera y al número que sobra se le denomina resto.
POTENCIACIÓN
Una potencia es una operación que consiste en multiplicar un número, llamado base, por sí mismo tantas veces como indica otro número, denominado exponente: 23 = 2 · 2 · 2 = 8.
El resultado de una potencia de base y exponente naturales siempre es un número natural.
UNA OPERACIÓN INVERSA
La división es la operación inversa de la multiplicación: al dividir 8 entre 4, tenemos que buscar un número que multiplicado por 4 dé como resultado 8.
RADICACIÓN
La radicación es la operación inversa de la potenciación. Consiste en buscar un número que elevado al índice dé como resultado el radicando:
Existen muchos números naturales que no tienen raíz exacta. En estos casos, sobrará un resto.
Para representar los números naturales dibujamos una recta (en este caso hemos utilizado una regla). En un punto cualquiera colocamos el origen O. Elegimos una medida cualquiera y la vamos llevando hacia la derecha a partir del origen. De esta manera determinaremos la posición de cada número natural.
DIVISIBILIDAD
En un supermercado se venden los huevos en paquetes de una docena. Si compramos tres paquetes, ¿cuántos huevos habremos adquirido? ¿Es posible comprar 37 huevos? La primera pregunta es fácil: hemos comprado 3 · 12 = 36 huevos. En este caso, se dice que 36 es un múltiplo de 12. También podemos decir que 12 es un divisor de 36, ya que
TABLA DE NÚMEROS PRIMOS
El procedimiento para construir esta tabla es obra de K.P. Swallow. La primera tabla de este tipo que se conoce es la criba de Eratóstenes.
Un número es primo si únicamente tiene dos divisores: él mismo y la unidad.
FACTORES PRIMOS
Para descomponer un número en factores primos iremos comprobando si es divisible entre dos, entre tres, entre cinco, etc. Podemos utilizar para ello los criterios de divisibilidad.
En este supermercado, sólo venden bandejas de una docena de huevos.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
| Entre dos | Si acaba en cero o en cifra par | 12 |
| Entre tres | Si la suma de sus cifras es divisible entre tres | 672:6 + 7 + 2 = 15 |
| Entre cinco | Si acaba en cero o en cinco | 45 |
| Entre once | Si la suma de sus cifras situadas en posición impar menos la suma de sus cifras situadas en posición par (o viceversa) es cero o divisible entre once | 90.816:Impar: 9 + 8 + 6 = 2323 – 1 = 22 |
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
Una empresa de chocolates fabrica bombones envueltos en papel rojo, que se venden en cajas de doce, y bombones envueltos en papel azul, que se venden en cajas de ocho. ¿Se podrán trasladar los bombones a cajas más pequeñas, que sólo contengan bombones rojos o azules?
Para que no sobre ningún bombón, la capacidad de estas cajas tiene que ser un número divisor de ocho y también de doce.
La descomposición factorial de ocho es: 8 = 2 · 2 · 2 = 23
El doce, por su parte, se descompone así: 12 = 2 · 2 · 3 = 22 · 3
Si tomamos los factores comunes elevados al menor exponente posible, obtenemos: 22 = 4. El cuatro es el mayor de los números que dividen tanto a ocho, como a doce. Luego sólo podemos trasladar los bombones a cajas de uno, de dos o de cuatro.
El veintiocho es un número perfecto. Sus divisores son 1, 2, 4, 7, 14 y 28. Entonces, tenemos: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Se dice que un número es perfecto, cuando coincide con la suma de sus divisores, exceptuando a él mismo.
El máximo común divisor es el mayor de los divisores comunes a varios números.
