Wert eines Hauses, das gegen Feuer versichert wurde, betrage 500.000 EUR. Auf Basis von Vergangenheitswerten, welche die Versicherung über Gebäudebrände gesammelt hat, ermittelt sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten: Die Wahrscheinlichkeit für einen Brandschaden in Höhe von
• 125.000 EUR beträgt 1,0 %,
• 250.000 EUR beträgt 2,5 %,
• 375.000 EUR beträgt 1,0 %,
• 500.000 EUR beträgt 0,5 %.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % kommt es zu keinem Brand und die Schadenhöhe beträgt somit 0 EUR.
Die Schadenhöhe in Beispiel 8 ist eine diskrete Zufallsvariable, weil sie nur eine endliche Anzahl von Werten (auch Ausprägungen oder Realisierungen genannt) annehmen kann.9 Zufallsvariablen werden üblicherweise mit Großbuchstaben (meist X, Y oder Z) bezeichnet. Die Funktion f, die jeder Ausprägung xi der Zufallsvariable X ihre Wahrscheinlichkeit zuordnet, wird Wahrscheinlichkeitsverteilung genannt.
Beispiel 9 (Wahrscheinlichkeitsverteilung):
In Fortsetzung von Beispiel 8 würde die Wahrscheinlichkeitsverteilung (die Funktion f), die jeder möglichen Schadenhöhe xi (Ausprägung der Zufallsvariable X) ihre Wahrscheinlichkeit (W(X = xi)) zuordnet, wie folgt aussehen:
Tab. 2: Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable X (Schadenhöhe)
Der Ausprägung x1 = 0 wird somit die Wahrscheinlichkeit f(x1) = W(X= x1) = 0,95 zugeordnet, der Ausprägung x2 = 125.000 wird die Wahrscheinlichkeit f(x2) = W(X= x2) = 0,01 zugeordnet, usw.
Die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Ausprägungen müssen in der Summe 1 (= 100 %) ergeben. In Beispiel 9 ist diese Bedingung erfüllt: 0,95 + 0,01 + 0,025 + 0,01 + 0,005 = 1.
Wahrscheinlichkeitsverteilungen können auch grafisch dargestellt werden. Bei diskreten Zufallsvariablen bietet sich dazu bspw. ein Stabdiagramm an. Abbildung 4 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung aus Beispiel 9.
Die Annahme, dass die Schadenhöhe im Fall eines Hausbrandes nur fünf Werte annehmen kann, ist selbstverständlich eine Vereinfachung der Realität. Tatsächlich könnte der Schaden natürlich jeden beliebigen, in Euro oder einer anderen Währung darstellbaren, Wert zwischen null und dem Marktwert des Hauses annehmen.
Im Gegensatz zu diskreten Zufallsvariablen können stetige Zufallsvariablen in einem bestimmten Intervall jede beliebige reelle Zahl bzw. Ausprägung annehmen. Typische Beispiele für stetige Zufallsvariablen sind Zeitabstände, Strecken und Gewichte, weil zwischen zwei Ausprägungen dieser Variablen immer eine weitere Ausprägung eingefügt werden kann.
In der Finanz- und Versicherungswirtschaft ist zwangsläufig oft mit Geldbeträgen zu rechnen, die nur endlich viele Ausprägungen annehmen können, welche durch die Stückelung der kleinsten Währungseinheiten begrenzt sind. Beispielsweise können in Euro angegebene Preise oder Schäden nur in Cent-Beträge gestückelt werden, sodass nicht mehr als zwei Nachkommastellen zulässig sind. Sollen Geldbeträge durch
Abb. 4: Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsvariable X (Schadenhöhe) aus Beispiel 9 als Stabdiagramm
Zufallsvariablen beschrieben werden, so müssten sie genau genommen als diskrete Zufallsvariablen dargestellt werden. Weil die Anzahl ihrer möglichen Ausprägungen jedoch sehr hoch ist, werden sie dennoch oft durch stetige Zufallsvariablen beschrieben.
Wahrscheinlichkeiten stetiger Zufallsvariablen werden mittels Dichtefunktionen dargestellt. Abbildung 5 zeigt eine mögliche Dichtefunktion (auch Wahrscheinlichkeitsdichte) der Zufallsvariable Schadenhöhe.
Abb. 5: Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsvariable (Schadenhöhe)
Bei stetigen Zufallsvariablen ist zu beachten, dass auf der Ordinatenachse (Y-Achse) nicht mehr die Wahrscheinlichkeit abgelesen werden kann. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsvariable X eine Ausprägung in einem bestimmten Bereich (z. B. im Intervall zwischen 100.000 und 200.000 Euro) annimmt, entspricht der Fläche zwischen der Dichtefunktion f(x) und der X-Achse innerhalb der Intervallgrenzen. Werden die Intervallgrenzen mit den Kleinbuchstaben a und b bezeichnet, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X eine Ausprägung im Intervall [a, b] annimmt, gegeben durch
Abbildung 6 zeigt beispielhaft die Fläche zwischen der Dichtefunktion und der X-Achse in den Grenzen von 100.000 bis 200.000 (Euro).
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten der möglichen Ausprägungen muss auch im stetigen Fall wieder eins ergeben, sodass für das Integral über die gesamte Dichtefunktion
gilt.
Abb. 6: Ermittlung der Wahrscheinlichkeit einer stetigen Zufallsvariable
1.3.3 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
Um Verteilungen von Zufallsvariablen anhand weniger Kennzahlen zu charakterisieren oder zu vergleichen, bedient man sich üblicherweise bestimmter Parameter, wie bspw. des Erwartungswertes oder der Varianz.
Zur Erläuterung dieser Parameter gehen wir zunächst davon aus, dass der Vorgang, der zu einem »zufälligen« Ergebnis führt, beliebig oft wiederholt werden kann. Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariable X gibt dann eine Auskunft darüber, welchen Wert die Realisierungen dieser Variable nach zahlreichen Wiederholungen im Mittel annehmen werden. Um den Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable zu berechnen, werden die möglichen Realisierungen (die Ausprägungen xi) mit ihren zugehörigen Wahrscheinlichkeiten W(X = xi) multipliziert und anschließend summiert. Für diskrete Zufallsvariablen, bei denen i = 1, 2, …, n Ausprägungen auftreten können, gilt somit:
Beispiel 10 (Erwartungswert):
Mit den Wahrscheinlichkeiten und Ausprägungen der Beispiele 8 und 9 lässt sich der folgende Erwartungswert der Schadenhöhe berechnen:
Die erwartete Höhe des Schadens beträgt somit 13.750 EUR.
Der Erwartungswert gibt eine Auskunft über die Lage bzw. den Schwerpunkt der Wahrscheinlichkeitsverteilung.
