den tatsächlichen Schäden und den Schadenerwartungswerten tendenziell kleiner werden. Das Risiko, welches für den Einzelnen in einem zumeist höchst ungewissen, zukünftigen Schaden besteht, wird im Kollektiv somit beherrschbar, weil auf der Ebene des Kollektivs – bei ausreichender Kollektivgröße – eine präzise Vorhersage über die zukünftige Schadenhöhe pro Person (bzw. Risiko) getroffen werden kann. Damit schließt sich der Kreis zum ersten Abschnitt dieses Kapitels, in dem die Versicherung als eine Technik zur Überwindung von Unsicherheit eingeführt wurde. Das Gesetz der großen Zahlen ist die zentrale wahrscheinlichkeitstheoretische Erkenntnis, welche letzteres ermöglicht.
Um die Wirkung der Zusammenfassung von Risiken in einem Versicherungskollektiv weiter zu ergründen, betrachten wir beispielhaft ein einfaches Kollektiv, welches zunächst aus lediglich zwei Personen besteht, deren Risiken voneinander unabhängig sind, sodass anhand des Eintretens eines Schadens bei der ersten Person keine genauere Vorhersage über das Eintreten eines Schadens bei der zweiten Person getroffen werden kann.
Beispiel 14 (Zusammenfassung von Risiken im Kollektiv – Teil 1):
Lena und Paul haben sich gegen Unfälle versichert. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich innerhalb des nächsten Jahres ein Unfall ereignet, sei bei beiden gleich groß und betrage sowohl bei Lena als auch bei Paul jeweils p = 10 %. Die beiden kennen sich nicht und haben unterschiedliche Wohnorte, sodass man davon ausgehen kann, dass das Eintreten eines Unfallschadens bei Lena unabhängig von dem Eintreten eines Unfallschadens bei Paul ist.
Um das Beispiel einfach zu halten, modellieren wir die Schadenhöhe bei den beiden Versicherungsnehmern (Lena und Paul) als diskrete Zufallsvariable, die lediglich zwei Ausprägungen annehmen kann. Falls es bei einer der beiden Personen zu einem Unfall kommt, betrage die Schadenhöhe 1.000 Euro; wenn es zu keinem Schaden kommt, so ist die Schadenhöhe natürlich 0 Euro. Mehr als ein Schadenereignis pro Person und Jahr sei nicht möglich.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der beiden Versicherungsnehmer sind somit identisch.
Wahrscheinlichkeitsverteilung für Lena:
Tab. 5: Wahrscheinlichkeitsverteilung der Schadenhöhe für Lena
Wahrscheinlichkeitsverteilung für Paul:
Tab. 6: Wahrscheinlichkeitsverteilung der Schadenhöhe für Paul
Bevor Paul und Lena in einem Versicherungskollektiv zusammengefasst werden, ergibt sich für eine einzelne Person der Erwartungswert der Schadenhöhe somit aus
und die Varianz aus
Die Standardabweichung der Schadenhöhe eines einzelnen Versicherungsnehmers ist daher
Betrachten wir nun die Situation in einem Versicherungskollektiv, welches lediglich aus den beiden Personen Lena und Paul besteht. Dabei ist zu beachten, dass im Kollektiv vier unterschiedliche Fälle auftreten können:
1. kein Schaden,
2. Schaden bei Lena,
3. Schaden bei Paul,
4. Schaden bei Lena und Paul.
Auch für das Versicherungskollektiv lässt sich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung aufstellen:
Tab. 7: Wahrscheinlichkeitsverteilung der Schadenhöhe im Versicherungskollektiv (Lena und Paul)
Die Wahrscheinlichkeiten im Kollektiv ergeben sich aufgrund der Unabhängigkeit der Schadenereignisse durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse. Beispielsweise ergibt sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Versicherungsnehmer keinen Schaden haben aus 0,9 · 0,9 = 0,81; die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei Lena ein Schaden eintritt und bei Paul nicht aus 0,1 · 0,9 = 0,09; usw. In der Summe müssen sich die Wahrscheinlichkeiten auch hier wieder zu 1 addieren.
Die Schadenhöhe pro Kopf erhält man durch Division der Gesamtschadenhöhe durch die Anzahl der VN. Hat bspw. nur Paul einen Schaden erlitten, so entspricht sein Schaden dem Gesamtschaden im Kollektiv und die 1.000 Euro müssen durch zwei dividiert werden, um auf die Schadenhöhe pro Kopf in Höhe von 500 Euro zu kommen.
Für das Kollektiv lassen sich erneut Erwartungswerte, Varianzen und Standardabweichungen berechnen – einerseits für die Gesamtschadenhöhe und andererseits für die Schadenhöhe pro Kopf. Für die Gesamtschadenhöhe berechnen sich die Parameter wie folgt:
Im Kollektiv erhält man für die Schadenhöhe pro Kopf die folgenden Parameter:
Vergleichen wir nun die Parameter eines einzelnen Versicherungsnehmers vor der Kollektivbildung mit den Parametern pro Kopf nach der Kollektivbildung, so erkennen wir einerseits, dass sich der Erwartungswert nicht ändert – er bleibt bei 100 EUR pro Person – und andererseits, dass Varianz und Standardabweichung sinken. Während die Schadenhöhe bei Paul und Lena vor der Zusammenfassung im Versicherungskollektiv eine Standardabweichung von 300 EUR pro Person aufweist, ist sie nach der Zusammenfassung im Kollektiv auf 212 EUR pro Kopf reduziert. Die Streuung der Schadenhöhe pro Kopf um ihren Erwartungswert – und damit auch die Unsicherheit bezüglich der Abweichung der zukünftigen Schadenhöhe vom erwarteten Wert – wurde durch die Kollektivbildung also deutlich verringert.
Halten wir damit fest: Die Zusammenfassung von Risiken in einem Kollektiv führt zu einer Verringerung der Unsicherheit, weil die Streuung zukünftiger Schäden um ihren Erwartungswert – bei einer pro-Kopf-Betrachtung – sinkt.
Im Würfelbeispiel (Beispiel 13) hatten wir bereits gesehen, dass mit zunehmender Anzahl der Würfe die Abweichungen der Mittelwerte der beobachteten Würfe von ihren Erwartungswerten tendenziell immer kleiner wurden. Ausgehend von diesem Beispiel lässt sich bereits vermuten, dass mit zunehmender Zahl der Risiken im Kollektiv auch die Abweichungen der zukünftig auftretenden Schäden pro Kopf von den erwarteten Werten tendenziell kleiner werden. Um die Auswirkung einer Vergrößerung des Versicherungskollektivs beispielhaft zu veranschaulichen, betrachten wir im Folgenden ein Kollektiv mit vier Personen.
Beispiel 15 (Zusammenfassung von Risiken im Kollektiv – Teil 2):
Neben Lena (L) und Paul (P) versichern sich nun auch Maike (M) und Kai (K) gegen Unfälle, sodass unser Versicherungskollektiv jetzt vier Personen umfasst. Die Schadenhöhen der Versicherungsnehmer innerhalb des nächsten Jahres werden wieder als diskrete Zufallsvariablen, die zwei Ausprägungen (0 Euro und 1.000 Euro) annehmen können, beschrieben. Die Wahrscheinlichkeit für einen Unfall betrage weiterhin p = 10 % pro Person und Jahr. Mehr als ein Unfall pro Person und Jahr sei nicht möglich. Außerdem bestehe
