beschreiben, unabhängig und identisch verteilt sind.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für Lena (L), Paul (P), Maike (M) und Kai (K) sieht somit wieder aus wie in den Tabellen 5 und 6:
Tab. 8: Wahrscheinlichkeitsverteilung der Schadenhöhe für Lena, Paul, Maike und Kai
Im Versicherungskollektiv können nun viele unterschiedliche Kombinationen von Schadenereignissen auftreten, die in Tabelle 9 überblicksartig zusammengefasst sind.
Tab. 9: Schadenereigniskombinationsmöglichkeiten für Lena (L), Paul (P), Maike (M) und Kai (K)
Befinden sich im Versicherungskollektiv vier Personen, so bestehen bereits 16 Schadenereigniskombinationsmöglichkeiten. Die Zahl der möglichen Ereignisse ist somit wesentlich größer als jene, die zuvor im Fall von zwei Personen in Tabelle 7 des Beispiels 14 dargestellt wurde.
In einem großen Versicherungskollektiv können in einem bestimmten Zeitraum – bspw. innerhalb eines Jahres – viele unterschiedliche Personen von einem Schadenereignis getroffen werden. Möchte man herausfinden, wie viele Möglichkeiten es gibt, dass in einer großen Gruppe von Personen eine bestimmte Anzahl dieser Personen einen Schaden erleidet, so handelt es sich dabei mathematisch um eine Problemstellung aus der Kombinatorik, bei der x Elemente (Personen mit Schaden) aus einer Menge von n verschiedenen Elementen (Versicherungskollektiv) – ohne Berücksichtigung der Anordnung – auszuwählen sind. Die Anzahl der Möglichkeiten, dass in einem Kollektiv aus n Personen x Personen von einem Schadenereignis getroffen werden, lässt sich daher mithilfe des Binomialkoeffizienten berechnen:
Beispiel 16 (Binomialkoeffizient):
Die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten, bei denen aus einem Kollektiv von n = 4 Personen x = 2 Personen einen Schaden erleiden, ergibt sich aus
Dieses Ergebnis kann auch in Tabelle 9 in der Spalte »Häufigkeit« überprüft werden.
Ein Vorgang, der – wie in unserem Fall bei den einzelnen Personen in den Beispielen 14 und 15 – vom »Zufall« abhängig ist, der zu lediglich zwei möglichen Ergebnissen (hier: Schaden / kein Schaden) führt, konstante Wahrscheinlichkeiten (hier: p = 10 % und q = 90 %) aufweist und der von anderen Vorgängen dieser Art unabhängig ist, wird Bernoulli-Versuch genannt. Eine Folge von n solchen Vorgängen wird dann als Bernoulli-Experiment mit n einzelnen Versuchen bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeiten für die Häufigkeit des Eintretens der Schadenereignisse können unter diesen Voraussetzungen mithilfe der Binomialverteilung12 berechnet werden.
Bezeichnet X die Zufallsvariable »Zahl der Schadenereignisse im Versicherungskollektiv pro Jahr«, welche die Ausprägungen x = 0, 1, 2, …, n annehmen kann, so lässt sich die Wahrscheinlichkeit, mit der die Ausprägung x eintritt, unter den im vorherigen Absatz genannten Voraussetzungen mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung bestimmen:
Beispiel 17 (Zusammenfassung von Risiken im Kollektiv – Teil 3):
Umfasst das Versicherungskollektiv n = 4 Personen, so ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten für x = 0, 1, 2, 3, 4 Schadenereignisse unter den in Beispiel 15 genannten Voraussetzungen (insbesondere p = 0,1) aus
In der Summe ergeben die Wahrscheinlichkeiten wieder 1 = 100 %. Auch bei Betrachtung von Tabelle 9 wird ersichtlich, dass sich die Wahrscheinlichkeiten für x = 0, 1, 2, 3, 4 Schadenereignisse aus der Multiplikation der Häufigkeit (Binomialkoeffizient) mit der Einzelwahrscheinlichkeit (letzte Spalte) ergeben.
Die Wahrscheinlichkeiten können sodann genutzt werden, um Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung pro Kopf im Kollektiv zu berechnen:
Wie bereits zuvor in Beispiel 14, liegt auch hier der erwartete Schaden pro Kopf unverändert bei 100 EUR. Die Varianz der Schadenhöhe pro Kopf ist jedoch im Vergleich mit dem 2-Personen-Kollektiv in Beispiel 14 deutlich gesunken. Auch die Standardabweichung pro Kopf liegt mit 150 EUR deutlich unter derjenigen aus Beispiel 14 (212 EUR).
Beispiel 18 (Zusammenfassung von Risiken im Kollektiv – Teil 4):
Das Versicherungskollektiv lässt sich beliebig vergrößern. Werden die zuvor getroffenen Annahmen beibehalten (Zufallsvorgänge mit lediglich zwei möglichen Ergebnissen [Schaden (1000 EUR)/kein Schaden], konstante Wahrscheinlichkeiten [p = 10 % und q = 90 %], Unabhängigkeit), so ergeben sich die in Tabelle 10 dargestellten Erwartungswerte, Varianzen und Standardabweichungen pro Kopf in Abhängigkeit der Kollektivgröße (n Personen).
Tab. 10: Erwartungswerte, Varianzen und Standardabweichungen pro Kopf in Abhängigkeit der Kollektivgröße n
Somit lässt sich festhalten: Die Zusammenfassung unabhängiger, identisch verteilter Risiken in einem Versicherungskollektiv senkt die Varianz und Standardabweichung der Schadenhöhe pro Kopf (bzw. pro Risiko), hat jedoch keine Auswirkung auf die erwartete Schadenhöhe pro Person (bzw. pro Risiko). Mit zunehmender Kollektivgröße wird die Streuung der Schadenhöhe pro Kopf um ihren Erwartungswert immer geringer, sodass die tatsächlich eintretenden Schäden tendenziell immer näher an den erwarteten Werten liegen. Im Kollektiv wird somit die Unsicherheit hinsichtlich der zukünftigen Schadenhöhe pro Person (bzw. pro Risiko) deutlich reduziert und damit beherrschbar. Letzteres funktioniert umso besser, je größer das Kollektiv ist.
Auf die gleiche Weise wie in den obigen Beispielen kann gezeigt werden, dass die Standardabweichung der Schadenhöhe pro Kopf (bzw. pro Risiko) auch dann sinken kann, wenn die Zufallsvariablen, welche die Schadenhöhen der Risiken beschreiben, die im Versicherungskollektiv zusammengefasst werden, nicht identisch verteilt sind. Also auch wenn die Personen (bzw. Risiken) im Versicherungskollektiv unterschiedliche Schadenwahrscheinlichkeiten und unterschiedliche Ausprägungen der Schadenhöhe aufweisen, kann es für die einzelnen Mitglieder im Kollektiv vorteilhaft sein, in diesem Kollektiv zu bleiben. Werden die Unterschiede jedoch zu groß, so ist anzunehmen, dass die »guten Risiken«, welche geringe Schadenwahrscheinlichkeiten und geringe Schadenhöhen aufweisen, das Kollektiv zugunsten anderer und für sie besserer Alternativen verlassen möchten.
Auch bei Aufhebung der Unabhängigkeitsannahme lässt sich zeigen, dass durch die Zusammenfassung von Risiken in einem Versicherungskollektiv die Standardabweichung der Schadenhöhe pro Kopf (bzw. pro Risiko) gesenkt werden kann. Wenn Abhängigkeiten zwischen den Risiken bestehen, wird die Standardabweichung pro Kopf allerdings nicht mehr so deutlich gesenkt wie im Fall der Unabhängigkeit. Am einfachsten lässt sich dies verdeutlichen, wenn man sich vergegenwärtigt, dass bei vollständig positivem Zusammenhang bei allen Risiken immer zur gleichen Zeit ein Schaden entstehen würde. Die Aufteilung des Schadens auf alle Personen im Kollektiv
