wird, somit dem diskontierten Erwartungswert der zukünftigen Leistungen des VU an den VN.
Wie im ersten Abschnitt dieses Kapitels gezeigt wurde, können die tatsächlich eintretenden Schäden bzw. die tatsächlichen Leistungen des VU an die VN – bspw. aufgrund zufälliger Schwankungen – jedoch auch über den zuvor berechneten Erwartungswerten liegen, sodass das VU auch für diesen Fall vorsorgen und zur Risikokompensation zweitens einen sog. Sicherheitszuschlag (auch Risikozuschlag) auf die Prämie erheben muss.
Die Netto(risiko)prämie und der Sicherheitszuschlag ergeben zusammen die (Brutto-)Risikoprämie23, welche das VU für die Risikoübernahme entschädigt. Werden weiterhin die Betriebskosten (d. h. Verwaltungs- und Vertriebskosten) und der Gewinnzuschlag für die Eigentümer in die Kalkulation einbezogen sowie eine eventuell erforderliche Sparprämie und die Versicherungssteuer berücksichtigt, so gelangt man schließlich zur sog. Bruttoprämie, welche alle zuvor genannten Komponenten umfasst. Abbildung 10 visualisiert den Aufbau der Bruttoprämie.
Abb. 10: Der Aufbau der Bruttoprämie
1.6 Übungsaufgaben
Aufgabe 1
Eine Versicherung habe sechs Gebäude gegen Brand versichert. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, aus der Menge der n = 6 Gebäude χ = 0,1,2,…,6 Gebäude auszuwählen (ohne Wiederholung, ohne Berücksichtigung der Anordnung)?
Lösung:
Aufgabe 2
Gegeben seien vier unkorrelierte, identisch verteilte Risiken. Pro Risiko seien nur zwei Ausgänge bezüglich der Schadenhöhen möglich (0 EUR und 3000 EUR). Die Schadenwahrscheinlichkeit pro Risiko sei konstant und betrage p = 10 %.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten, mit denen Gesamtschäden in Höhe von 0, 3000, 6000, 9000 und 12000 EUR eintreten.
Lösung:
b) Bitte berechnen Sie den Schadenerwartungswert für das Kollektiv und pro Kopf.
Lösung:
c) Bitte berechnen Sie die Varianz und die Standardabweichung des Schadens pro Kopf.
Lösung:
d) Betrachten Sie nun acht unkorrelierte, identisch verteilte Risiken und unterstellen Sie ansonsten die gleiche Parameterkonstellation wie zuvor (Schadenhöhen 0 und 3000 EUR, Schadenwahrscheinlichkeit p = 10%).
i. Berechnen Sie erneut den Schadenerwartungswert und die Standardabweichung des Schadens pro Kopf !
Lösung:
ii. Welchen Effekt beobachten Sie beim Vergleich der Standardabweichungen und Schadenerwartungswerte pro Kopf, die Sie für die unterschiedlichen Situationen (vier und acht Risiken) berechnet haben.
Lösung:
Effekt: Der Erwartungswert pro Kopf ändert sich nicht. Die Standardabweichung des Schadens pro Kopf fällt.
e) Welcher generelle Zusammenhang zwischen der Anzahl der Risiken im Kollektiv und der Standardabweichung des Schadens pro Kopf lässt sich aufgrund der obigen Berechnungen vermuten?
Lösung:
Mit steigender Kollektivgröße (n) nimmt die Standardabweichung des Schadens pro Kopf ab.
1.7 Literatur
Farny, Dieter (2011): Versicherungsbetriebslehre, 5. Auflage, VVW, Karlsruhe.
GDV (Hrsg.) (2020): Branchendaten Überblick,https://www.gdv.de/de/zahlen-und-fakten/versicherungsbereiche/ueberblick-4580 (abgerufen am 18.8.2020).
Müller, Helmut (2017): Versicherungssparte, in: Wagner, Fred (Hrsg.): Gabler Versicherungslexikon, 2. Aufl., Wiesbaden, S. 1019.
Nguyen, Tristan / Romeike, Frank (2013): Versicherungswirtschaftslehre – Grundlagen für Studium und Praxis, Springer Gabler, Wiesbaden.
Wagner, Fred (2017): Schaden-/Unfallversicherung, in: Wagner, Fred (Hrsg.): Gabler Versicherungslexikon, 2. Aufl., Wiesbaden, S. 805-806.
1 Der Versicherungsnehmer kann eine natürliche oder juristische Person sein. Er oder sein Begünstigter erhalten mit Zahlung der Versicherungsprämie das Recht auf die Versicherungsleistung im Schadenfall.
2 Mit dem Begriff »Risiko« ist in diesem Fall die Gefahr gemeint, gegen die versichert wird. In den Wirtschaftswissenschaften bezeichnet »Risiko« zumeist die Möglichkeit, dass ein Ergebnis ungünstig von einem erwarteten oder erhofften Ergebnis abweicht. Auch das Ausmaß der Variabilität einer relevanten Zielgröße (z. B. des Gewinns) wird oft als »Risiko« bezeichnet.
3 Der Risikoausgleich im Versicherungskollektiv wird in Abschnitt 4 dieses Beitrags ausführlich behandelt, nachdem die notwendigen mathematischen Grundlagen in Abschnitt 3 gelegt wurden.
4 Hierbei wird unterstellt, dass Perioden mit gleicher Länge – also z. B. Monate oder Jahre – betrachtet werden.
5 Hinweis: Die Gesamtschadenhöhe ist in diesem Beispiel stets niedriger als die Einnahmen in Höhe von 50.000 EUR (Vgl. Beispiel 2), welche das VU von seinen VN erhält. Neben dem Schadenausgleich müssen aus den Einnahmen jedoch auch Kosten für Vertrieb und Verwaltung gedeckt werden. Außerdem erwarten die Eigentümer einen angemessenen Gewinn für ihren Kapitaleinsatz im VU.
