Erwartungswerten, welche durch Pfeile gekennzeichnet sind. Die Verteilung auf der linken Seite hat einen Erwartungswert in Höhe von 500; der Erwartungswert der Verteilung auf der rechten Seite beträgt 1.750.
Neben dem erwarteten Wert ist bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable X auch die Streuung der Ausprägungen um ihren Erwartungswert von Interesse. Ein Parameter mit dem diese Streuung üblicherweise charakterisiert wird, ist die Varianzσ2(X). Sie wird bei diskreten Zufallsvariablen berechnet, indem zunächst die Abweichungen der einzelnen Ausprägungen xi (mit i = 1, 2, …, n) von ihrem Erwartungswert E(X) quadriert, sodann mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten W(X = xi) multipliziert und schließlich die Einzelergebnisse der vorherigen Rechenschritte summiert werden:
Abb. 7: Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit unterschiedlichen Erwartungswerten
Beispiel 11 (Varianz):
Aufbauend auf den vorherigen Beispielen 8, 9 und 10 lässt sich mit den oben angegebenen Wahrscheinlichkeiten und Ausprägungen auch die Varianz der Schadenhöhe berechnen:
Die Varianz der Schadenhöhe beträgt somit 4.185.937.500 EUR2.
Die Varianz gibt Auskunft darüber, wie dicht die Ausprägungen der Zufallsvariable um ihren Erwartungswert streuen. Weil die quadrierten Abweichungen und Wahrscheinlichkeiten nicht kleiner als null werden können, kann auch die Varianz nicht negativ werden. Aufgrund der Quadrierung weicht die Einheit der Varianz (im Beispiel EUR2) jedoch von der Einheit der Zufallsvariable (im Beispiel EUR) ab, sodass sich die Varianz nur schwer interpretieren lässt. Daher wird gewöhnlich die Standardabweichung σ(X) berechnet, welche der Quadratwurzel der Varianz entspricht:
Beispiel 12 (Standardabweichung):
Für die in den vorherigen Beispielen betrachteten Ausgangswerte ergibt sich die Standardabweichung aus
Die Standardabweichung der Schadenhöhe ist also 64.698,82 EUR.
Die Einheit der Standardabweichung entspricht derjenigen der Zufallsvariable. Liegen die Ausprägungen der Zufallsvariable nahe beim Erwartungswert, so ist die Standardabweichung klein. Streuen sie weit um den Erwartungswert, so ist die Standardabweichung groß. Ebenso wie die Varianz kann auch die Standardabweichung nicht negativ werden. Bei manchen Wahrscheinlichkeitsverteilungen können mithilfe der Standardabweichung direkt Wahrscheinlichkeitsaussagen abgeleitet werden. Beispielsweise liegen bei der Normalverteilung 68 % der Realisierungen im Bereich von zwei Standardabweichungen um den Erwartungswert (d. h. im Bereich von E(X) − σ(X) bis E(X) + σ(X)).
Im finanz- und versicherungswirtschaftlichen Kontext wird die Standardabweichung der Änderungen relevanter Größen auch Volatilität genannt und oft als einfaches Risikomaß verwendet, weil sie Informationen über das Ausmaß der Schwankung dieser Größen liefert.
Abbildung 8 zeigt zwei Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit unterschiedlichen Varianzen und Standardabweichungen. Die Verteilung auf der linken Seite hat eine Standardabweichung in Höhe von σ(X) = 104. Die Standardabweichung der Verteilung auf der rechten Seite ist mit σ(X) = 210 mehr als doppelt so groß. Beide Wahrscheinlichkeitsverteilungen haben einen Erwartungswert von ca. 1.050.
Abb. 8: Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit unterschiedlichen Standardabweichungen
1.3.4 Gesetz der großen Zahlen
In großen Versicherungskollektiven kommt ein zentraler Satz der Wahrscheinlichkeitstheorie zum Tragen, der als Gesetz der großen Zahlen bezeichnet wird. Letzteres besagt sinngemäß, dass mit zunehmender Anzahl der Beobachtungen eines Zufallsvorgangs der Erwartungswert des Zufallsvorgangs immer zuverlässiger durch den Mittelwert der Beobachtungen abgebildet wird. Das Gesetz wird zunächst anhand eines einfachen Beispiels veranschaulicht, um im Anschluss seine Bedeutung im Rahmen der Versicherungswirtschaft darzulegen.
Beispiel 13 (Gesetz der Großen Zahlen):
Ist X eine diskrete Zufallsvariable, welche der geworfenen Augenzahl beim einmaligen Werfen eines sechsflächigen, »fairen« Würfels entspricht, so ist ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung durch die folgende Tabelle gegeben:
Tab. 3: Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable X (Augenzahl beim Werfen eines Würfels)
Der Erwartungswert E(X) der Zufallsvariable X ist dann
Der Würfel wird nun mehrmals hintereinander geworfen und es werden die Anzahl n der Würfe sowie die jeweils geworfenen Augenzahlen festgehalten, sodass der Mittelwert der Augenzahlen berechnet werden kann. Wird der Würfel bspw. n = 5 mal hintereinander geworfen, wobei die Augenzahlen 5, 3, 6, 1 und nochmals 1 fallen, so ist der Mittelwert
Der Mittelwert kommt dem Erwartungswert beliebig nah; er konvergiert gegen den Erwartungswert für n gegen unendlich. Abbildung 9 veranschaulicht diesen Sachverhalt grafisch.
Tab. 4: Mittelwerte der Augenzahlen nach n-maligem Werfen eines Würfels
Ebenso kann man auch zeigen, dass die relative Häufigkeit des Auftretens einer bestimmten Augenzahl gegen die zugehörige, theoretische Wahrscheinlichkeit10 konvergiert.
Abb. 9: Mittelwerte der Augenzahlen nach n-maligem Werfen eines Würfels
1.4 Ausgleich im Versicherungskollektiv
Die Erkenntnisse des Würfelbeispiels lassen sich in ähnlicher Weise auf ein Versicherungskollektiv übertragen. Anstelle der Augenzahl des Würfels betrachten wir im Versicherungskollektiv als Zufallsvariable die Schadenhöhe, welche im Laufe einer Periode bei einer versicherten Person oder Sache11 auftritt. So wie der Mittelwert der beobachteten Würfe gegen den Erwartungswert der Augenzahl konvergiert, so konvergiert auch der durchschnittliche Schaden im Versicherungskollektiv gegen den erwarteten Schaden, wenn die Anzahl der Risiken im Kollektiv steigt. Mit zunehmender Kollektivgröße können die tatsächlich eintretenden Schäden pro Person
