ruut, siis esimesest kahest ruudust kolm korda suurem ruut, seejärel viis korda suurem ruut ja nii edasi. Pange tähele, et selline järgnevus tekitab kuldlõike proportsioonidega kolmnurgad. Seejärel ühendatakse ruutude vastasnurgad veerandringikujuliste kaartega, alustades väiksematest ruutudest ja liikudes järjekorras järgmiste suunas edasi.
Tuttava kujuga spiraali võib näha teatavate galaktikate kujus, jäära sarvedes, paljudes merekarpides ja ookeanilainete kaartes, millel surfarid sõidavad. Aina suuremaks muutudes struktuuri kuju ei muutu, seda olenemata algse ruudu suurusest, millega protsess käivitatakse: kuju ei sõltu kasvust. Ajakirjanik William Hoffer märkis, et „Suur kuldne spiraal tundub olevat looduse viis ilma kvaliteeti ohverdamata kvantiteeti üles ehitada.“31
Mõned inimesed arvavad, et Fibonacci arve saab kasutada paljude erinevate ennustuste tegemiseks, seda eriti aktsiaturgude kohta. Sellised ennustused toimivad piisavalt tihti, et entusiasm säiliks. Fibonacci jada on sedavõrd huvitav, et olemas on isegi Ameerika Fibonacci Ühing, mis asub Californias Santa Clara ülikooli juures ja mis on avaldanud sellel teemal alates 1962. aastast tuhandete lehekülgede jagu uurimusi.
Fibonacci „Liber Abaci“ oli muljetavaldav esimene samm, et mõõtmisest saaks riski taltsutamise võtmetegur. Kuid ühiskond ei olnud veel valmis riskile arve külge panema. Fibonacci ajastul arvas enamik inimesi endiselt, et risk tulenes looduse kapriissusest. Enne kui inimesed olid valmis riskitaltsutamise tehnikaid aktsepteerima, pidid nad õppima tundma ära inimtekkelisi riske ja omandama julguse saatusega lahingusse astumiseks. Selline äratundmine jäi veel vähemalt kahesaja aasta kaugusele tulevikku.
Fibonacci saavutuse täielikku mõju suudame hinnata ainult vaadates tagasi ajastusse, mis eelnes sellele, kui ta selgitas, kuidas eristada omavahel arve 10 ja 100. Kuid isegi sealt avastame me märkimisväärseid novaatoreid.
Primitiivsed inimesed, nagu näiteks neandertallased, oskasid arvet pidada, kuid neil oli vähe asju, mille üle seda teha. Nad märkisid mõnele kivile või palgile üles päevade möödumise ja jälgisid, mitu looma nad tapsid. Aega arvestas nende eest päike ja viis minutit või pool tundi siia-sinna ei omanud suurt tähtsust.
Esimene süstemaatiline katse mõõta ja loendada leidis aset umbes kümme tuhat aastat enne Kristuse sündi.32 Just siis asusid inimesed toidu kasvatamiseks alaliselt elama orgudesse, mida niisutasid sellised suured jõed nagu Tigris ja Eufrat, Niilus, Indus, Jangtse, Mississippi ja Amazonas. Jõgedest said varsti kaubanduse ja reisimise magistraalid, mis juhtisid seiklusaltimaid inimesi lõpuks ookeanide ja meredeni, kuhu jõed voolasid. Järjest kaugemate vahemaade taha liikuvate reisijate jaoks olid kalendriaeg, navigatsioon ja geograafia väga tähtsad ning need tegurid vajasid järjest täpsemaid arvutusi.
Esimesed astronoomid olid preestrid ja astronoomiast tekkis matemaatika. Kui inimesed said aru, et kividele ja pulkadele tõmmatud sälkudest enam ei piisa, hakkasid nad jagama arve kümnestesse või kahekümnestesse gruppidesse, mida oli lihtne sõrmedel ja varvastel lugeda.
Kuigi egiptlastest said osavad astronoomid ja nad oskasid vilunult ennustada, millal Niiluse jõgi piirkonna üle ujutab või tagasi tõmbub, ei tulnud tuleviku juhtimine või mõjutamine neile kunagi isegi mitte pähegi. Muutus ei kuulunud nende vaimsetesse protsessidesse, mille üle valitsesid harjumused, hooajalisus ja austus mineviku vastu.
Umbes aastal 450 eKr lõid kreeklased tähtedel põhineva arvusüsteemi, kus kasutati Kreeka tähestiku 24 tähte ja veel 3 tähte, mis muutusid hiljem üleliigseks. Oma täht oli kõigil numbritel vahemikus 1–9 ja kõigil kümnetel. Näiteks sümbol „pii“ tuleb kreekakeelse sõna penta esimesest tähest, mis tähendas arvu „viis“; „kümmet“ tähistava sõna deca esimene täht delta tähistas numbrit kümme, tähestiku esimene täht alfa tähistas numbrit 1 ja roo tähistas arvu 100. Seega kirjutati arv 115 roo-deca-penta ehk ρδπ. Kuigi heebrealased olid semiidid, mitte indoeurooplased, kasutasid nad sama tüüpi tähtedel põhinevat arvusüsteemi.33
Need tähtnumbrid olid küll kasulikud selleks, et inimesed saaksid tugevamaid struktuure ehitada, kaugemale reisida ja täpsemalt aega arvestada, aga süsteem oli tõsiselt piiratud. Tähti oli väga keeruline liitmiseks, lahutamiseks, korrutamiseks või jagamiseks kasutada ja peastarvutamisel oli see peaaegu võimatu. Need numbrite asendajad ei võimaldanud muud, kui andsid vahendi teiste meetoditega, enamasti abakuse või arvelauaga tehtud arvutuste tulemuste ülestähendamiseks. Ajaloo kõige vanem arvutusvahend abakus valitses matemaatilist maailma kuni India-Araabia arvusüsteem umbes vahemikus 1000–1200 pKr lavale astus.
Abakuse tööpõhimõte on järgmine: igas tulbas määratakse kindlaks maksimaalne nuppude arv. Kui liites täitub kõige parempoolsem tulp, liigutatakse üleliigsed nupud ühe tulba võrra vasakule ja nõnda edasi. Meie mõisted „laena üks“ ja „vii kolm üle“ pärinevad abakuse ajastust.34
Hoolimata selliste varajaste matemaatikavormide piirangutest, võimaldasid need teha teadmistes suuri edasiminekuid, seda eelkõige kujundite keeles geomeetrias ning selle paljudes rakendustes astronoomias, navigatsioonis ja mehaanikas. Nendes valdkondades tegid kõige muljetavaldavamaid edusamme kreeklased ja nende kolleegid Aleksandrias. Ainult Piiblist on ilmunud rohkem väljaandeid ja trükke kui Eukleidese kõige kuulsamast raamatust „Elemendid“.
Siiski ei olnud kreeklaste suurim panus teaduse uuendamine. Lõppude lõpuks olid Egiptuse ja Babüloonia templite preestrid õppinud geomeetria kohta üpris palju juba ammu enne Eukleidese lavaleastumist. Isegi kuulus Pythagorase teoreem (täisnurkse kolmnurga kaatetite ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga) oli Tigrise ja Eufrati jõgede orus kasutusel juba 2000 aastat eKr.
Kreeklaste vaimsuse ainulaadne joon oli nõuda kindlat tõestust. Küsimus „miks?“ oli nende jaoks tähtsam kui küsimus „mis?“. Kreeklased suutsid põhiküsimused ümber sõnastada, sest nende tsivilisatsioon oli esimene tsivilisatsioon kogu ajaloos, kes oli prii kõikvõimsa preesterkonna pealesurutud intellektuaalsest hullusärgist. Needsamad hoiakud viisid selleni, et kreeklastest said maailma esimesed turistid ja kolonisaatorid, kes muutsid Vahemere piirkonna oma isiklikuks jahireservaadiks.
Selle tulemusel olid kreeklased elukogenumad ja keeldusid võtmast puhta kullana rusikareegleid, mida vanemad ühiskonnad olid neile pärandanud. Neid ei huvitanud üksikud näited; nende eesmärk oli leida ideed, mis kehtiksid igal pool ja igal juhtumil. Näiteks oli seda, et täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ruut on võrdne selle kaatetite ruutude summaga, võimalik kindlaks teha ainult mõõtmistega. Kuid kreeklased küsisid, miks peaks see olema nii kõigi täisnurksete kolmnurkade puhul, nii väikeste kui ka suurte puhul, ilma et reeglil oleks ühtegi erandit. Kogu Eukleidese geomeetria sisu ongi tõendamises. Ja pärast seda valitsevad matemaatilise teooria üle igavesti tõendid, mitte arvutused.
Selline täielik lahtiütlemine teiste tsivilisatsioonide analüütilistest meetoditest paneb taas kord imestama, miks kreeklastel ei õnnestunud avastada tõenäosusteooriat ega matemaatilise analüüsi seaduspärasusi ega isegi mitte lihtsat algebrat. Võib-olla oli see kõigist kreeklaste saavutustest hoolimata nii seetõttu, et nad pidid sõltuma kohmakast tähestikul põhinevast arvusüsteemist. Roomlased kannatasid sama puude käes. Nii lihtsa arvu nagu 9 kirjutamiseks oli vaja kahte tähte: IX. Roomlastel polnud võimalik kirjutada arvu 32 kui III II, sest poleks olnud võimalik kuidagi aru saada, kas see tähendas numbrit 32, 302, 3020 või mõnda pikemat kombinatsiooni numbritest 3, 2 ja 0. Sellisele süsteemile oli võimatu arvutusi rajada.
Kuid parema arvusüsteemi avastamine ei juhtunud enne, kui umbes 500 pKr, kui hindud lõid
Kaks stimuleerivat kommentaari Fibonacci arvude kohta on pärit järgmistest teostest: Garland (1987) ja William Hoffer, „A Magic Ratio Recurs Through Art and Nature“ (1975). Esitatud näited on pärit nendest kahest allikast.
Siinkohal esitatud taustainfo pärineb peamiselt Hobgben (1968), I peatükk.
Vt Hogben (1968), lk 35; vt ka Eves (1983), I peatükk.
Vt Hogben (1968), lk 35 ja lk 246–250.
