его аналитическое решение. Для этого запишем характеристическое уравнение
τDτkλ2 + (τD + τk)λ + [1 – (1 – γ)(1 + p*)] = 0, (1.14)
решение которого имеет вид
где Δ = (τD + τk)2 – 4τDτk [1 – (1 – γ)(1 + p*)].
Если равенство (1.11) не выполняется, то в зависимости от величины и знака детерминанта δ корни λ2 будут вещественными или комплексными.
Введем обозначение
При этом
Величина а2 всегда положительна. Положительна также и а в силу того, что τD > 0, τk > 0. Если τD < 0 и τk < 0, то рассматриваются динамические системы не с запаздывающим аргументом, а с опережающим, а это нонсенс (не может быть).
Величина b может быть как положительной, так и отрицательной. В зависимости от соотношения а2 и b дискриминант δ может иметь разный знак.
При этом возможны следующие варианты.
Вариант 1. Случай, когда a2 > b, дискриминант Δ > 0 и оба корня λ1,2 вещественные. В этом случае общее решение уравнения (1.13) имеет вид
δe(t) = exp(–at){1/2 · (c1 + c2)exp(ct) + 1/2 · (c1 – c2)exp(–ct)}, (1.16)
где
Постоянные с 1 и с2 зависят от начальных данных δе0 и
Анализ поведения динамической системы начнем со случая b = 0, соответствующего равновесному состоянию рассматриваемой системы. При этом выполняется условие (1.11) и Δ = a2, когда имеет место λ12 = –a ± a, т. е. λ1 = 0, λ2 = –2a.
Общее решение (1.16) примет вид
δe(t) = (c1 + c2) / 2 + (c1 – c2) / 2 · exp(–2at),
где c1 = δe0, c2 =
Из последнего равенства следует: равновесное состояние δe = (c1 + c2)/2 реализуется при любом значении t, если имеет место равенство c1 = c2. Если c1 ≠ c2, то в силу того, что a > 0, такое состояние реализуется при больших значениях t, когда
δe ≠ (c1 + c2)/2.
При t → +∞ условие δe = (c1 + c2) / 2 соблюдается независимо от значений c1 и c2 (рис. 1.21).
Рис. 1.21
Таким образом, состояние динамической системы, когда δe = (c1 + c2) / 2, обладает устойчивостью энергетических потоков на входе в динамическую систему и на О t выходе из нее по отношению к начальным возмущениям. При этом независимо от того, какое из неравенств – δe(0) > (c1 + c2) / 2 или δe(0) < (c1 + c2) / 2 – имело место, с увеличением t соотношение (1.16) становится более точным.
Вариант 2. Случай, когда b ≠ 0, а δ > 0, поведение системы отличается от равновесного. Если при этом a > 0 и c = (
