Una aplicación f : X → Y se dice que es suprayectiva, si para cada y
En virtud de la Proposición 5.5, la aplicación identidad es única.
Proposición 5.8: Consideremos f, g dos aplicaciones tales que
Entonces g es inyectiva y f suprayectiva. Demostración :
Consideremos
y componemos con f
de donde
Luego g es inyectiva en virtud de la Definición 5.2.
Dado un x existe un y = g(x) que verifica
Luego f es suprayectiva.
Teorema 5.9:
Demostración :
Consideremos x def f, entonces
pero como
Si x
entonces
y en virtud del Teorema 2.5 f(x) es conjunto. Esto hace que f(x)
Para terminar enunciamos, sin demostrarlas, unas relaciones que poseen las aplicaciones, y que proponemos al lector como ejercicios :
Proposición 5.10: Sean A, B, A', B' conjuntos y f una aplicación,
Tomemos a continuación f.X >Y, entonces :
Terminemos esta sección introduciendo el concepto de biyección :
Definición 5.11: Una aplicación que sea a la vez inyectiva y suprayectiva se dice que es una aplicación biyectiva o es una biyección.
1.6 Producto cart esiano y leyes de composición
Para desarrollar los conceptos enunciados necesitamos un sexto axioma :
VI Axioma de amalgamación
Si x es conjunto, también lo es x.
Definición 6.1: Sean x e y dos clases. Se llama producto cartesiano de x e y a la clase de pares ordenados dada por
Teorema 6.2: Si u e y son conjuntos, también lo es {u} × y.
Demostración :
Construyamos una aplicación f: Y → {u} × y, cuya gráfica es
Entonces def f = y e Im f = {u} × y. Y por el Axioma de sustitución, {u} × y es conjunto.
Teorema 6.3: Si X e Y son conjuntos, X × Y es conjunto.
Demostración :
Definamos la aplicación
Debido al Axioma de sustitución, Im f es conjunto. Finalmente el Axioma de amalgamación conduce a que
y por tanto X × Y es conjunto
Corolario 6.4: Si A es una aplicación y def A un es conjunto, A (entendiendo como relación binaria, y por tanto una clase) es un conjunto.
Demostración :
Puesto que Im A también es conjunto, def A × Im A es un conjunto. Esto hace que
Y
