ordenados tenemos
Proposición 3.8: Un par ordenado (x,y) es conjunto si y sólo si x e y son conjuntos; si (x,y) no es un conjunto, entonces (x,y) = .
Proposición 3.9: Si x e y son conjuntos, entonces
En el caso de que lóyno sean conjuntos,
Definición 3.10: Sea z una clase. Llamaremos primera componente de z a z; y segunda componente de z a ( z ) (( z) ~ z )
Teorema 3.11:
1º Si x e y son conjuntos, la primera componente del par (x, y) es x; y la segunda componente es y.
2ºSi x ó y no es conjunto, la primera y la segunda componentes de (x, y) son U.
Demostración :
1º La primera componente de (x,y) se obtiene directamente de la
Proposición 3.9,4º.
En cuanto a la segunda, calculemos
Pero
y sustituyendo
Si x ó y no es un conjunto, hemos visto que
Calculemos la segunda componente :
Corolario 3.12: Si x e y son conjuntos y (x,y) = (u, v), entonces x = u, y = v.
Demostración :
En virtud de la Proposición 3.8, (x,y) es un conjunto, y por tanto (w, v) también es conjunto. Y la misma proposición conduce a que u y v son conjuntos. El resto de la demostración es aplicación trivial del Teorema 3.11.
1.4 Relaciones binarias
Iniciamos el estudio de las relaciones binarias. En pocas palabras consisten en algumos tipos de clases de pares ordenados. Daremos en esta Sección sus propiedades generales. A continuación nos dedicaremos a desarrollar las relaciones binarias más importantes como son el concepto de función o aplicación, y el de relación binaria de equivalencia.
Definición 4.1: Una clase se dice que es una relación binaria si para cada elemento z
El concepto composición de relaciones binarias viene dado por :
Definición 4.2: Sean R y S relaciones binarias. Llamaremos R o S a la clase
Si una relación binaria permite ser compuesta consigo misma de nanera que = o , se dice que posee la Propiedad transitiva.
De esta última definición se deduce directamente :
Corolario 4.3: .
Proposición 4.4:
Demostración :
Probemos la segunda. Sea (x,z)
Para la primera expresión, se procede del mismo modo.
Definición 4.5: Sea
