id="ulink_2f05aa41-c9d6-5426-bbd3-7eb91556ab78">1.1 Clases y conjuntos
Efectivamente David Hilbert acertó en su profecía: la Teoría de comjunto tuvo paulatinamente nás aceptación entre los matemáticos. Y no sólo eso, sino que, veinte años después de la formulación de la citada paradoja, se dio con la solución satisfactoria.
El error de Cantor fue no imponer ninguna restricción a la construcción de conjuntos. Evidentemente, sin hipótesis previas no se puede en absoluto coordinar los objetos que provienen de la percepción y del pensamiento. Y es precisamente eso lo que generaba paradojas y contradicciones en la Teoría de Conjuntos. En varias ocasiones, Cantor se limitó a decir que el concepto de conjunto era primario y, como tal, no podía ser delimitado. No obstante, su utilidad era manifiesta, porque permitía abordar con más rigor un gran número de pruebas en matemáticas (además de obtener numerosos resultados nuevos, pensemos por ejemplo en el hecho de que IR no es numerable), lo que compensaba la falta de consistencia de la teoría. Ahora bien, los detractores de la misma salían al paso contraatacando, pues, si es precisamente rigor lo que se pretende, seamos rigurosos en todo, incluso en los conceptos primarios.
Después de varios intentos de formalizar esta teoría, como el de Bertrand Russell en su Principia Mathematica y el sistema de Zermelo- Fraenkel, debemos a John von Neumann la superación definitiva de la paradoja de Russell con la distinción entre clase y conjunto.
Definición 1.1: Un concepto C se dirá que es una clase si permite decidir si un elemento pertenece o no a C.
Un ejemplo de concepto que no sea clase es el de la Belleza. Efectivamente cada ser humano entiende más o menos lo que es la belleza; pero es prácticamente imposible delimitarla en sus justos términos. Los atributos de la misma no son los mismos en cada hombre. Incluso cada atributo (que podríamos considerarlo como elemento del concepto Belleza) no tiene el mismo valor en cada individuo, lo cual hace que este concepto no sea una clase, de acuerdo con la definición precedente. En cambio, el concepto de vivienda, como formada por sus inquilinos, sí es una clase.
Pero una definición, como la anterior, está formada por conceptos más primitivos. Estos conceptos primarios empleados son el de “elemento” y el de “pertenencia”, cuyos significados serán tomados del lenguaje ordinario. Estos serán nuestras ideas primarias e intuitivas.
Representaremos indistintamente por letras mayúsculas y minúsculas tanto clases como elementos. Y expresaremos que “a pertenece a x” por
En este caso se tiene que entender que a es un elemento de (o que pertenece a) x.
Con ello ya estamos en condiciones de delimitar el concepto de conjunto:
Definición 1.2: Una clase A se dirá conjunto si existe otra clase C tal que A sea elemento de C, es decir,.
Una clase se dice que es propia si no es conjunto.
Está claro que no puede existir la clase de todas las clases propias, puesto que si existiese sus elementos no serían clases propias. Incluso tampoco puede existir la clase formada por clases propias y conjuntos, pues si uno de sus elementos fuera clase propia, ésta dejaría de serlo por ser elemento de otra clase. (Por eso las clases propias también son llamadas no- elementos). Esto hace que sólo tenga sentido hablar de clases de conjuntos. Con ello, la paradoja de Russell queda superada si aceptamos que R es clase propia, es decir, clase que no es conjunto.
El lector atento se habrá percatado de que, si bien con la distinción entre clase y conjunto se ha solucionado la pardoja de Russell, esta misma distinción plantea nuevos y copiosos interrogantes, como es, por ejemplo, si la unión y la intersección (términos empleados en el sentido ordinario) de conjuntos son conjuntos, o que una parte de un conjunto es conjunto, etc.
Para poder contestar satisfactoriamente estas cuestiones, necesitamos un cuerpo axiomático que, con ayuda de las inferencias, las leyes y constantes de la Lógica, permita desarrollar la Teoría de Conjuntos. En esencia la Axiomática que vamos a seguir es la de Zermelo-Fraenkel con aportaciones sustanciales del sistema desarrollado por Neumann-Bernays- Gödel como, entre otras, fue la de función proposicional, es decir, funciones que tomen dos valores: el de “verdadero” y el de “falso” (llamados valores de verdad); y con algunos retoques dados por J.L. Kelly, cuando insiste que una fórmula que defina una clase debe comprender los conjuntos que la satisfagan.
Puesto que vamos a utilizar operaciones lógicas, no está de más recordar las más elementales. En la Lógica Matemática se las distinguen entre juntores y cuantores. Los juniores empleados son: el negador -> (niega la proposición en donde aplica, es decir, si p es verdadera, ->p es falsa; y viceversa), el conjuntor A (la sentencia p A q es verdadera si p y q lo son, y falsa en los demás casos), el disyuntor V (p V q es falsa si p y q son falsas, y es verdadera en los restantes casos), el implicador =>? (p q es falsa si p es verdadera y q es falsa, la sentencia será verdadera en las otras posibilidades), el coimplicador p = q es veradera si p y q son ambas verdaderas o son ambas falsas, y será falsa si una es verdadera y la otra falsa). Hemos de resaltar que en el lenguaje ordinario el conjuntor corresponde a la conjunción y, el disyuntor se asocia a la conjunción disyuntiva inclusiva ó, el implicador responde a la oración gramatical si…, entonces... y el coimplicador se refiere a si y sólo si.
Respecto a los cuantores, haremos uso del cuantificador universal V (para todo) y del cuantificador existencial 3 (existe un).
Otras constantes que se emplean en matemáticas, como es G y otras que iremos utilizando a lo largo del texto.
El plan de nuestra exposición es introducir paulatinamente los axiomas a medida que se necesiten, con el fin de llegar a una teoría conjuntista si no completa (que no lo es, y tampoco podría serlo 1), al menos carente de contradicciones lógicas en el momento actual.
En primer lugar partimos de dos axiomas básicos :
I Axioma de extensión
Dos clases son iguales si los elementos de la primera pertenecen a la segunda; y los elementos de la segunda también son miembros de la primera clase. Dos clases x, y son iguales, se representará por
Un segundo axioma que necesitamos es
II Axioma de clasificación
La sentencia
es equivalente afirmar que
En realidad el Axioma de clasificación nos dice que la variable X sometida a propiedades específicas, sentencias definitorias o fórmulas clasificatorias (simbolizadas por una función proposicional Px) puede ser sustituida por el conjunto u, Pu, es decir que u goza de las mismas propiedades que la variable x (además de ser conjunto).
Definición
