En la primera definición se lee “x unión y” y el símbolo U es conocido por unión. En la segunda se entiende “x intersección y” y el símbolo fl es llamado intersección.
Las propiedades que se desprenden de estas definiciones se deducen inmediatamente del Axioma de clasificación :
Las siguientes propiedades se prueban a partir del Axioma de extensión con la ayuda de las Propiedades
Definición 1.4:
Definición 1.5:Sea x una clase. La clase complementaria
Proposición 1.6: = x.
Demostración :
Tomemos
Invirtiendo el orden de la demostración, se prueba que los elementos de la clase x también pertenecen a la clase
En virtud del Axioma de extensión, las dos clases son iguales.
Teorema (De Morgan):
Demostración :
Sólo probaremos una de ellas, por ejemplo la
La inclusión contraria se obtiene invirtiendo el orden de la demostración.
De nuevo aplicamos el Axioma de extensión para afirmar que las dos clases son iguales.
Definición 1.7: Por complementario de y relativo a x, entenderemos
Con frecuencia se simboliza x ~ y por Cxy.
Proposición 1.8:
Trivial
Definición 1.9:
Teorema 1.10:
Demostración :
Puesto que x = x, es falso que
Esta propiedad nos permite afirmar que la clase vacía no contiene ningún elemento.
Se tiene de inmediato de
Definición 1.11: Se llama clase universal a
En virtud del Axioma de clasificación, es la clase de todos los conjuntos.
Se cumple :
Se puede probar utilizando la difinición de
Definición 1.12:
Obsérvese que los elementos de
Pensemos
