2.1: Si x es un conjunto yzx, entonces z es un conjunto.
Demostración :
Tomemos un zx. Al ser x conjunto, podemos aplicar el axioma III, con lo que existe un conjunto Y tal que zY. Esto hace que z sea un conjunto, en virtud de la Definición 1.2.
Entonces se dirá que z es subconjunto de x.
Corolario 2.2: no es conjunto.
Demostración :
La clase de Russell R es subclase de (falta por ver si coincide con ). Entonces R . Si fuera conjunto, R sería conjunto. Y ello conduciría directamente a la paradoja de Russell. Luego no es conjunto.
Corolario 2.3: Si una de las clases x, y es un conjunto, x y es un conjunto.
Demostración :
Supongamos que x sea un conjunto. De la Definición 1.3, 2- y la Definición 1.14, tenemos que x y x. Entonces el Teorema 2.1 asegura que x y es un conjunto.
Teorema 2.4: .
Demostración :
, resulta que x es un conjunto, y dado que x (Teorema 1.15), sería un conjunto. Ahora bien, de la Definición 1.12,, todo elemento de es elemento de pero según vimos en el Teorema 1.10, no tiene elementos, de lo que resulta que tampoco posee elementos. Por el Axioma de extensión, y son iguales.
En virtud del Teorema 1.15,
Veamos la inclusión contraria: , se tiene que x es un conjunto. Por el Axioma de subconjuntos, existe un conjunto y de manera que si z C x, entonces z G y. En particular x G y, y como y G U, por la Definición 1.12, 1a, x . Esto hace que . Finalmente apliquemos la Propiedad .
Teorema 2.5: Si , x es un conjunio.
Demostración :
Si , existe un . Luego y es un conjunto; pero como x y en virtud de la Propiedad . Resulta del Teorema 2.1 que x es un conjunto.
Definición 2.6: Sea x una clase, llamaremos a la clase formada por los subcon5juntos de x, es decir,
Teorema 2.7: (Axioma de potencia) Si x es conjunto, es conjunto.
Demostración :
Tomemos z. Por definición de , z x. En virtud del Axioma de subconjuntos, existe un conjunto Y tal que z Y. Entonces Y, de acuerdo con la Definición 1.14. Finalmente el Teorema 2.1 nos conduce a que es conjunto.
Cuando x es un conjunto, el conjunto se le suele llamar el conjunto partes de x.
2.1: Si x es un conjunto y z 