2.1 permite asegurar que A es un conjunto.
Definición 6.5:
Proposición 6.6:
1º Si x e y son conjuntos, xy es también un conjunto.
2º Dado A un conjunto, representaremos por 2A el conjunto {0,1}A Entonces existe una aplicación biyectiva entre
Demostración :
1º Tomemos f
Pero el Teorema 2.7 asegura que
2º Sea B un subconjunto arbitrario de A (B
Con esta clase de funciones, definimos la aplicación
Veamos que es biyectiva :
Estudiemos en primer lugar la inyectividad de
Esto hace que si b
Esto prueba que B
La inclusión contraria se prueba de la misma manera.
Veamos la suprayectividad: Tomemos f : A→ {0,1}, y definimos B = f-1( 1). Evidentemente
En lo sucesivo, representaremos el conjunto de partes de un conjunto x indistintamente por
Proposición 6.7:
Demostración :
Simple aplicación del Axioma de extensión y de las definiciones implicadas.
En cuanto a las leyes de composición diremos que hay de dos tipos: internas y externas. Estas últimas también pueden ser reconocidas por acciones o transformaciones, si poseen propiedades específicas. Estudiemos en primer lugar las primeras :
Definición 6.8: Una ley de composición interna definida en un conjunto C es una aplicación
Es costumbre representar estas leyes por los símbolos -, •, + , etc. Así por ejemplo f(a,b) = a • b, o f(a,b) = a * b, o f(a,b) = a • b, o f(a,b) = a + b.
Enunciamos a continuación a título de definiciones las propiedades más usuales que pueden tener estas leyes :
Definición 6.9: Se dice que una ley de composición interna posee elemento neutro o elemento unidad e
Si sólo se verifica
se dirá que e es elemento neutro por la derecha; y si se cumple que
será el elemento neutro por la izquierda.
Definición 6.10: Una ley de composición interna se dice que g.oza de la propiedad asociativa si
Definición 6.11:Sea una ley de composición interna con elemento unidad e, definida en un conjunto C. Se dice que un elemento a
En el caso de que se verifique sólo
se dirá que a' es elemento simétrico de a por la derecha. Del mismo modo se define elemento simétrico por la izquierda.
Definición 6.12: Una ley de composición interna definida en un conjunto C verifica de la propiedad conmutativa si
Definición 6.13: Dadas dos leyes de composición internas • definidas en un mismo conjunto C, se dice que la ley • posee la propiedad distributiva respecto a la ley * si para todo a,b,c G C se verifica
