prestarse a confusión en el sentido de que podría pensarse que x ⋂ y = y, en vez de x ⋂ {y} = {y} que simpre es cierta. Efectivamente, x ⋂ y está formado por los elementos comunes de x y de y. El axioma anterior precisamente exige que al menos un elemento de x no tenga elementos comunes con x.
Consecuencias inmediatas de este axioma son :
Proposición 2.1: x ≠ x.
Demostración :
Lo probaremos por reducción al absurdo :
Consideremos que x
Pero este resultado contradice el hecho que y
Ahora estamos en condiciones de aceptar como válida la posible intuición (que seguramente tuvo el lector al leer la introducción del capítulo anterior) de que ningún conjunto es elemento de sí mismo. Esta intuición es una verdad lógica si aceptamos el Axioma de regularidad. En estas circunstacias, la clase de Russell R coincide con la clase universal
Proposición 2.2: Es falso que x y ∧ y x.
Demostración :
Consideremos que x
Aplicando el Axioma de regularidad, se llega a una contradicción, ya que ningún elemento de A posee intersección vacía con la clase A.
Definición 2.3: Se llama clase E la clase de pares ordenados
De esta misma definición, se desprende que E es una relación binaria, que posee la Propiedad asimétrica.
Teorema 2.4: La clase E es propia.
Demostración :
Consideremos que E sea conjunto, es decir, E
Construyamos la clase
Pero esta clase contradice el Axioma de regularidad, lo que es absurdo y, por tanto, E no es un conjunto.
Estudiada la clase E, podemos ocuparnos ampliamente del concepto de ordinal a partir de una definición previa.
Definición 2.5: Una clase x se dice que es o está saturada (o completa) si y sólo si cada elemento de x es un subconjunto propio de x (es decir, un subconjunto distinto de x).
Definición 2.6: x es un ordinal si x es una clase saturada y E conecta a x
Analicemos detenidamente este concepto: Por definición de E resulta que, dados dos elementos distintos de x, uno es elemento del otro. Además, los elementos de los miembros de x son elementos de x (Condición de saturación de una clase), lo que dota a E de la Propiedad transitiva en x.
Teorema 2.7: Si x es ordinal, E ordena bien a x.
Demostración :
Para que E ordene bien a x, tiene que conectarlo, hecho que por definición de ordinal ya se verifica. Además debe cumplir la Propiedad asimétrica y que todo subconjunto posea un E-primer elemento, de acuerdo con la Definición 1.2.
Tomemos u,v x, de manera que u v, es decir, u £ v. Por la Proposición 2.2, es falso que v Eu. Luego la relación binaria E posee en x la Propiedad asimétrica.
Consideremos y un subconjunto no vacío de x. Por el Axioma de regularidad, y posee un elemento u tal que
es decir que ningún elemento de y pertenece au. En consecuencia, u es el E-primer elemento de y.
Proposición 2.8: Si x es un ordinal, y C x con y / x y de manera que y también sea saturado, entonces y x.
Demostración :
Basta probar que E conecta a y. Tomemos u E v, v E y. Por ser y saturado, u E y. Esto hace que y es una .E - sección de x. En virtud del Teorema 1.7, existe un w
Ahora bien, como cada elemento de w pertenece a x, resulta que
es decir, y = w, o lo que es lo mismo y x.
Nota 2.9: Este último teorema prueba que y es un ordinal, si tenemos en cuenta la Definición 2.6, ya que al estar x üJ-conectado y también lo está.
Proposición 2.10: Si x e y son ordinales, entonces x
Demostración
