x ey son iguales, se verifica trivialmente el teorema. Si son distintos, es obvio que la clase x Corolario 2.11: Si x e y son ordinales, entonces, o x
Demostración :
Supongamos que sean distintos. Entonces la Proposición 2.10 asegura que x
Teorema 2.12: Si x es un ordinal e y
Por ser x un ordinal, es saturado; y por tanto y x (Definición 2.5). Esto hace que E también conecte a y.
Hemos de ver que y también es saturado :
Por de pronto, E conecta a y, puesto que E conecta a x. Ahora bien, dado que E es transitiva en x, también será transitiva en y. Por consiguiente, si tomamos un elemento v £ y y un elemento u v, por la Propiedad transitiva de E, u y; es decir,
Luego y está saturado. En virtud de la Definición 2.6, y es un ordinal.
Definición 2.13: Representaremos la clase de los ordinales por
Teorema 2.14: es una clase propia que es un ordinal. Demostración :
El Corolario 2.11 y la Proposición 2.12 muestran que E conecta
Tomemos un x arbitrario. Para cualquier elemento y x, será un ordinal en virtud del Teorema 2.12, en consecuencia y . Luego
Con ello hemos probado que
Finalmente, si
Teorema 2.15: Cada E-sección de O es un ordinal. Demostración :
Consideremos x una .E-sección de
Como cada elemento de v es un ordinal,
con lo que x = v es ordinal.
Definición 2.16: Un número ordinal es un ordinal x ∈
En otras palabras diremos que todos los ordinales son números ordinales salvo
Definición 2.17:
Teorema 2.18:
1º Si x e y son ordinales, entonces x ≤ y si y sólo si x ⊂ y
2ºsi y sólo si x C y. Si x es un ordinal, entonces
