Definición 1.3:Un orden es una una relación binaria que no posea laPropiedad simétricay tenga al menos laPropiedad transitiva.Si además goza de lasPropiedades reflexiva y antisimétrica, se dirá que es una relación de orden. (Véase Sección 4º del capítulo precedente).
La formulación empleada es x y que representa (x, y) G TZ. En esta nueva notación, se expresa diciendo que “x está -relacionado con y“ o que “x precede a y“. Obsérvese además que si una relación binaria posee la Propiedad reflexiva, la asimétrica queda sustituida por la Propiedad antisimétrica.
Teorema 1.4: Si ordena bien a X, entonces es transitiva y asimétrica.
Demostración :
Consideremos u,v X, con (u,v),(v,u) . Por definición de par ordenado (Definición 3.7 del Capítulo 1),
Ahora bien, debido a que u,v {u v}, resulta que {u v} X. Por consiguiente {u v} X tiene un -primer elemento z. Este z debe coincidir con u o con v, es decir que es falsa una de las proposiciones, a saber: (u,v) o (v,u) . Luego posee la Propiedad asimétrica.
Si no fuera transitiva, habría elementos u, v, w de X que cumplirían (u, v) , (v, w) (w, u), puesto que conecta a X. Entonces el subconjunto {u} {v} {w} X no tendría -primer elemento, lo cual es contradictorio en los conjuntos bien ordenados.
Definición 1.5:Y es una -sección de X si Y X y ordena bien a X de manera que para cada u, v tales que uX, vY con u v se tenga que u £7.
En otras palabras, diremos que, si un orden ordena bien a un conjunto X, un subconjunto Y de X será una -sección si ningún elemento de X ~ Y precede a los elementos de Y.
Proposición 1.6:Si y ≠ , y cada elemento de y es una -sección de x, entonces y, y son -secciones de X.
Demostración :
Obsérvese que los elementos de y o de y pueden precederse unos a otros; pero ningún elemento de los complementarios x ~ y o de x ~ y precede a los elementos de las clases citadas. En consecuencia, y y y verifican las condiciones dadas en la Definición 1.5 para que sean - secciones.
Teorema 1.7: Si Y es una -sección de X con Y ≠ X, entonces existe un v X de manera que
Demostración :
Sea y es una -sección de X que no coincide con X. Debido a que TZ ordena bien a X y X ~ Y X, la Definición 1.2 asegura que X ~ Y posee ft-primer elemento v. Si consideramos que u £ X con u v, résulta que u X ~Y. Con ello se ha probado que
Tomemos u Y. Por ser Y-sección, es falso que v u. Y como ordena bien a X, uv. Esto prueba la inclusion contraria.
El siguiente resultado es inmediato por lo que lo damos sin ningún comentario :
Proposición 1.8: Dadas dos -secciones Y, Z de X, se verifica que Y Z ó Z Y.
Definición 1.9: Consideremos dos órdenes , S. Se dice que una
alt="image"/>
