Estructuras de álgebra multilineal. Joaquín Olivert Pellicer

      Luego x es saturado, y por tanto, un ordinal.

      Proposición 2.19: Si x ⊂ y x ≠ , entonces ⋂ x ⊂ x.

       Demostración :

      Debido a que es ordinal, es saturado. Por la condición de saturación, x es ordinal. Por lo tanto, todo elemento de x es ordinal y subconjunto de x. Por esta razón, los elementos de elementos de x también serán miembros de x. En consecuencia,⋂ x ⊂ x.

      Definición 2.20: x + 1 = x {x}.

      Proposición 2.21: Si x , entonces x + 1 es ordinal y es el E-primer elemento de

       Demostración :

      Evidentemente x {x} es saturado, ya que x es un ordinal. Además E conecta a x {x}, ya que x x {x} y E conecta a x. Esto hace que x + 1 sea ordinal.

      Supongamos que exista un elemento

      con u < x + 1 . Esto hace que u x {x}, con lo que, o u x, o u = x. Pero por (2.21.1) x u. Estas conclusiones contradicen las Proposiciones 2.1, 2.2, lo que prueba que x + 1 es el E-primer elemento de {y : y O con x < y}.

      Proposición 2.22: Si x , se tiene que (x + 1) = x.

      Trivial.

Definición 2.23 :

      Proposición 2.24: Si f es una aplicación, f|x es una función de dominio def|_x = x ⋂def f, y además

      También es una proposición inmediata de la Definición 2.23.

      Finalizamos esta Sección estudiando ei teorema final de los ordinales que, a su vez, precisa de un lema previo.

      Lema 2.25: Sea f una aplicación tal que su dominio sea un ordinal y sea g una función que verifique f(u) = g(f|u) para cada u def f. Si h es también una función de manera que su dominio sea un ordinal y h(u) = g(h|u) con

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