alt="image"/> def h, entonces h ⊂ f ó f ⊂ h. Demostración :
Al ser def f y def h ordinales, podemos suponer que def f ⊂ def h (en virtud del Teorema 2.10).
Probemos que f(u) = h(u), ∀u
Supongamos que no se verifica. Consideremos que u sea el E-primer elemento de def f tal que F(u) ≠ h(u). Entonces f(v) = h(v) para los elementos v E-anteriores a u, es decir, v
Sabido esto, como las imágenes de estas dos funciones coinciden en def f, resulta que f ⊂ h.
Se prueba la inclusión contraria si se hubiera partido de def h ⊂ def f.
Teorema 2.26: Para cada g existe una función f, cuyo dominio def / es un ordinal, que verifica f(x) = g(f|x) para todo número ordinal x.
Demostración :
Probaremos este teorema tanto para ordinales x
Para el primer caso, definamos la relación binaria f del siguiente modo: Los pares ordenados (u, v)
Debido a que las restricciones de h coinciden (Lema 2.25), f es una función. Además, de la definición de sección (Definición 1.5) y de la Proposición 2.8, resulta que def f es una E-sección de
Consideremos ahora x
Por otra parte, al ser def f conjunto, el Corolario 6.3 del capítulo citado asegura que / es conjunto.
En el caso de que f
Luego f
Con ello se ha probado que la relación anterior es válida para todo ordinal.
2.3 Axioma de elección. Proposiciones equivalentes
Definición 3.1: Una función de elección es una aplicación F de manera que F(x) x para cada elemento x no vacío del dominio de F.
Con este nuevo concepto, enunciamos el Axioma de elección en la modalidad dada por Godei :
VIII Axioma de elección
Existe un función de elección F cuyo dominio es ~ .
En realidad la función de elección selecciona un elemento de cada conjunto no vacío.
Si se restringe este axioma a cada conjunto no vacío se tiene la versión de este axioma dada por Zermelo :
Axioma de elección de Zermelo
Para cada conjunto no vacío X existe una función de elección
definida en P(X)~ (P(X): partes de X).
Evidentemente el Axioma de elección implica el Axioma de Zermelo.
Estudiemos sus consecuencias :
Los teoremas que vamos a probar se basan en el Axioma de elección; pero con pequeñas variantes en las demostraciones también son válidos a partir del Axioma de Zermelo.
.
Teorema 3.2: (de numerabilidad) Si x es un conjunto, existe una aplicación biyectiva, cuya imagen es x y su dominio es un número ordinal.
Demostración :
Construimos una función f de la siguiente manera: Sea la aplicación definida como g(h) = F{x ~ Im h), donde h es conjunto. En virtud del Teorema 2.26, existe una aplicación F, cuyo dominio es un ordinal y que verifica f(u) = g(f|u)para cada número ordinal u. Entonces f{u) = F{x~Im f|u).
Si u
