Estadística aplicada a la ingeniería y los negocios. Carlos José Castillo

      Nota. Téngase en cuenta la diferencia entre la estandarización de la variable y la estandarización de la media muestral de la variable .

       Ejemplo 10

      El tiempo semanal de acceso a las redes sociales en Internet por parte de los escolares de nivel secundario presenta una distribución normal con una media poblacional de 250 minutos y una varianza poblacional de 900 minutos².

      a. En un colegio se seleccionarán a 36 escolares de secundaria, y si el tiempo promedio semanal de acceso a las redes sociales supera los 260 minutos se realizará una charla informativa dirigida a los padres de familia, ¿cuál es la probabilidad de que se realice dicha charla?

      b. En una muestra de 64 escolares de secundaria se determinó una probabilidad de 0.91 de que el tiempo promedio semanal de acceso a las redes sociales sea de a lo más k minutos, ¿cuál es el valor de k?

       Solución

      a. Sea

      n = 36.

      De acuerdo a los datos del problema, se tiene

      Luego, la probabilidad solicitada es

      P(

> 260) = 0.02275

      Interpretación: la probabilidad de que se realice la charla, es decir, que la media muestral sea mayor a 260 minutos, es de 0.02275 aproximadamente.

      b. Sea

: Media muestral del tiempo semanal de acceso a redes sociales. n = 64.

      De los datos del problema, se tiene

      El valor de k solicitado verifica la siguiente relación: P(

< h) = 0.91

      Al estandarizar, resulta

      Por consiguiente:

      Interpretación: El valor de k es de 255 minutos aproximadamente.

8.2 Distribución de la media muestral con varianza poblacional desconocida

      Sea

una muestra aleatoria seleccionada, con reemplazo, de una población con distribución normal: N(μ; σ²), donde la varianza poblacional σ² es desconocida. Luego, la variable aleatoria

      tiene una distribución t de Student con (n - 1) grados de libertad.

      Nota. Téngase presente que la distribución de la variable X debe ser normal, de otro modo este resultado es inaplicable.

       Ejemplo 11

      Si el uso de almacenamiento (tamaño en disco) de las fotografías capturadas durante un mes por parte de los jóvenes universitarios, mediante su smartphone, presenta una distribución normal con media 570 megabytes (MB), y con una varianza poblacional desconocida pero que se ha estimado en (60 MB)², calcule la probabilidad de que la cantidad total de fotografías capturadas durante un mes por parte de 40 jóvenes universitarios tengan un tamaño de por lo menos 23 000 MB.

       Solución

      Sea

: Media muestral del tamaño (en MB) de las fotografías capturadas durante un mes por parte de los jóvenes universitarios. n = 40.

      Dado que:

      Luego, la probabilidad solicitada es

      Interpretación: la probabilidad de que la cantidad total de fotografías capturadas por parte de 40 jóvenes universitarios tengan un tamaño de por lo menos 23 000 MB es de 0.3, aproximadamente.

8.3 Distribución de una proporción muestral

      Sea x₁, x₂,…,x_n una muestra aleatoria seleccionada, con reemplazo, de una población de Bernoulli: Be (1;π), donde π es la proporción de éxitos en la población. La proporción de éxitos en la muestra se encuentra definida como:

      , donde Y es el número de éxitos en la muestra.

      Nota. Una variable aleatoria Bernoulli asume únicamente los valores 0 y 1. Las características de la distribución de la proporción muestral son:

      Si n es suficientemente grande, se tiene:

      Nota. La desviación estándar de una distribución muestral se denomina también error estándar. Para la distribución de la proporción muestral el error estándar es:

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