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Ejemplo 12
Una reconocida marca de dispositivos móviles asegura que en Lima metropolitana, 3 de cada 10 tabletas adquiridas en un centro comercial ubicado en Santiago de Surco son de dicha marca.
a. Para una muestra conformada por las próximas 60 tabletas vendidas en el centro comercial ubicado en Santiago de Surco, calcular la probabilidad de que la proporción de tabletas de dicha marca sea mayor que 0.35.
b. ¿Cuántas tabletas deben ser seleccionadas para que la proporción de tabletas de la marca en estudio difiera de su proporción poblacional en a lo más 0.08, con una probabilidad de 0.90?
Solución
a. Sea X una variable dicotómica:
Para la muestra de tabletas seleccionadas, se tiene
Luego, la probabilidad solicitada es: P(p > 0.35) = 0.1992
Interpretación: la probabilidad de que la proporción de tabletas de dicha marca sea mayor que 0.35 es de 0.1992 aproximadamente.
b. Dado que:
P(|p - π| ≤ 0.08) = 0.90, se tiene
Como Z ~ N(0;1) es simétrica con respecto al origen, entonces la probabilidad de ambas colas es igual a 0.10. Véase figura 16.
Luego:
Interpretación: Se deben seleccionar 89 tabletas.
8.4 Distribución de la varianza muestral
Sea x1, x2,…,xn una muestra aleatoria seleccionada, con reemplazo, de una población con distribución normal: N(μ; σ2), y sea:
Entonces, la variable
Propiedades: para una muestra aleatoria seleccionada de una población con distribución normal: N(μ; σ2) se tiene:
Ejemplo 13
Los montos de las transacciones realizadas en una agencia de barrio de una reconocida entidad bancaria, presentan una distribución normal con una desviación estándar poblacional de S/. 45.
a. ¿Cuál será la probabilidad de que las 37 próximas transacciones presenten una desviación estándar muestral de a lo más S/. 51?
b. Sobre la base de una muestra de 46 transacciones se ha estimado que existe una probabilidad de 0.15 de que la varianza sea de por lo menos k soles2. Determine el valor de k.
Solución
a. Sea X: Monto (en S/.) de la transacción realizada en una agencia de barrio, y X ~ N(μ; 452), n = 37
Como
Luego, la probabilidad solicitada es
b. En este caso, se tiene:
De acuerdo a los datos del problema se tiene: P(S2 ≥ k) = 0.15
De donde:
9. DISTRIBUCIONES MUESTRALES DE DOS MUESTRAS
Cuando se trata de comparar dos poblaciones de acuerdo a una característica de interés, se comparan las muestras aleatorias tomadas de ambas poblaciones.
9.1 Diferencia de medias muestrales con varianzas poblacionales conocidas
Sean:
La distribución de la diferencia de las medias muestrales está dada por:
Donde la esperanza y varianza de esta diferencia son:
Nota. La expresión
Ejemplo 14
Los ladrillos para techo producidos en las plantas A y B de la empresa Blokart presentan medias y varianzas poblacionales conocidas: μ1 = 9.25 kg, = σ1 = 0.08 kg, y = μ2 = 9.30 kg y σ2 = 0.06 kg. Se seleccionan 42 y 40 ladrillos para techo producidos en las plantas A y B, respectivamente; calcule la probabilidad de que la diferencia del peso promedio de los ladrillos obtenidos en las muestras de las plantas A y B difiera en a lo más 30 gramos de la diferencia de medias poblacionales.
