absoluto para hallar la regla de correspondencia de f:
Así, vemos que la gráfica de f representada en la figura 1.21 está compuesta de dos semirrectas.
Figura 1.21
b) Al igual que con la función anterior, aplicamos la definición de valor absoluto para obtener la regla de correspondencia de f.
Entonces, la gráfica de f es:
Figura 1.22
1.5. Funciones definidas por tramos
Diremos que una función está definida por tramos si es posible descomponer su dominio como unión de conjuntos disjuntos, sobre cada uno de los cuales la función tiene una regla de correspondencia distinta. Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 1.9
La función:
es una función definida por tramos, pues su dominio 〈 – 3; 5] se puede expresar como la siguiente unión de intervalos disjuntos 〈 – 3; 0] ∪ 〈 0; 5] y sobre cada uno de estos intervalos, la función tiene distintas reglas de correspondencia.
Ejemplo 1.10
La función valor absoluto:
también es un ejemplo de función definida por tramos.
Observación 1.5
El dominio de una función definida por tramos es la unión de los dominios de las funciones componentes. Por ejemplo, el dominio de la función:
es la unión de los intervalos
Es decir:
1.6. Ejercicios resueltos
Ejercicio 1.6
Halle el dominio y grafique la función:
Solución
El dominio de
Figura 1.23
Ejercicio 1.7
Esboce la gráfica de la siguiente función e indique su dominio:
Solución
Notemos que esta gráfica tiene tres tramos: el primero es una función constante (y su gráfica será una recta horizontal); el segundo es una función lineal (cuya gráfica es una recta con pendiente – 1 y que corta al eje Y en el punto 4), y el tercero es una función cuadrática (cuya gráfica es una parábola que se abre hacia arriba y tiene vértice (6; – 4).
La gráfica de f es:
Figura 1.24
De la regla de correspondencia o de la gráfica de f, notamos que Dom (f) =
Ejercicio 1.8
Esboce la gráfica de la siguiente función:
Solución
Graficando por separado cada una de las funciones componentes de f, obtenemos:
Figura 1.25
Ahora, restringimos cada gráfica al intervalo indicado en la definición de f y obtenemos:
Figura 1.26
Ejercicio 1.9
Esboce la gráfica de la siguiente función:
Solución
Notemos que el primer y tercer tramo de f son funciones raíces cuadradas. Para graficar
Cuando graficamos
El segundo tramo de la función f es una función cuadrática con vértice (1; 1). La gráfica de f es:
Figura 1.27
