y otras que deben ser descompuestas en fracciones parciales.
En el capítulo 7 se estudia la integral definida y varias de sus aplicaciones, como el cálculo del área de una región plana, lo que permite introducir la integral definida en el cálculo del excedente de los productores y de los consumidores. También se utiliza la integral definida en el estudio de la convergencia o divergencia de integrales impropias, así como para calcular el valor acumulado y el valor promedio de una función.
Los autores deseamos expresar nuestro agradecimiento a todos los docentes que en los últimos años dictaron el curso de Matemática Aplicada a los Negocios y que con sus propuestas y sugerencias contribuyeron al desarrollo de este texto, así como también por la revisión de las respuestas a todos los ejercicios y problemas propuestos. Asimismo, agradecemos al profesor Benito Comeca por su dedicado trabajo de digitación y diagramación.
Finalmente, queremos agradecer al Programa de Estudios Generales y al Fondo Editorial de la Universidad de Lima por su incentivo y dedicación en la publicación de este libro.
Los autores
Capítulo 1
Funciones elementales y modelos matemáticos
Situaciones de la vida real como el tamaño de una población, el precio de un producto y su evolución en el tiempo, la utilidad o los ingresos que genera la venta de un artículo pueden describirse con lenguaje matemático y modelarse con funciones. En este capítulo haremos una revisión de las funciones elementales, sus operaciones, y estudiaremos su utilidad en el modelamiento de situaciones ligadas a los negocios.
Conocimientos previos
Álgebra elemental; inecuaciones; dominio y rango de una función; operaciones con funciones.
Secciones
✓ Funciones elementales
✓ Operaciones con funciones
✓ Funciones definidas por tramos
✓ Modelos matemáticos
Sabes
Capacidades adquiridas:
✓ Resolver ecuaciones e inecuaciones algebraicas.
✓ Plantear ecuaciones.
✓ Efectuar operaciones con funciones.
✓ Determinar el dominio y rango de funciones elementales.
✓ Graficar funciones.
Piensas
Competencias por lograr:
✓ Graficar funciones definidas por tramos, así como funciones que son resultado de operaciones entre funciones elementales.
✓ Formular modelos matemáticos mediante funciones para situaciones en el campo de los negocios.
✓ Identificar los modelos matemáticos como una herramienta para la descripción de situaciones reales.
Haces
Habilidades por desarrollar:
✓ Resolver situaciones reales usando modelos matemáticos.
✓ Formular modelos matemáticos para la descripción de situaciones reales.
1.1. Introducción
Muchas situaciones de la vida real obedecen a ciertas reglas, dependen de una o más cantidades y pueden ser modeladas por funciones. Por ejemplo, el área de un círculo o el volumen de una esfera dependen de la longitud de su radio; la producción de una fábrica depende del número de trabajadores; el costo de un producto puede variar con el paso del tiempo, etcétera.
Figura 1.1
En este capítulo, haremos una revisión de las funciones elementales que se estudiaron en el curso Matemática Básica y mostraremos varias situaciones relacionadas con los negocios que pueden ser descritas por medio de funciones (modelos mate-máticos).
Recordemos que una función real de variable real es una correspondencia que asocia a cada elemento x de un conjunto A ⊆
Dado un elemento x ∈ Dom (f), el número f (x) debe ser leído como “f de x” y es llamado imagen de x mediante f.
Ejemplo 1.1
Considere un cuadrado cuyo lado mide x cm. Sabemos que su área es igual a x2 cm2. Es decir, a cada valor positivo de x le corresponde un único valor para el área. Por tal razón, decimos que el área del cuadrado es una función de la medida de su lado y podemos escribir:
Siendo x la longitud del lado del cuadrado, este debe ser un número real positivo, por lo tanto, el dominio de la función área es Dom (A) = 〈0; +∞〉.
Figura 1.2
Como vemos, si variamos el valor de x, variará también el valor de A (x); es decir, el valor de A (x) depende del valor de x. Por tal razón, decimos que x es una variable independiente, mientras que A (x) es la variable dependiente.
1.1.1 Gráfico de una función
Dada una función f con dominio A, el gráfico de f se define como el siguiente conjunto de pares ordenados:
Es decir, el gráfico de f es el conjunto de todos los pares ordenados (x; f (x)), con x ∈ A. También se dice que el gráfico de f está formado por todos los pares ordenados (x; y) tales que y = f (x).
Figura 1.3
Ejemplo 1.2
Considere una función y
