de su lanzamiento al mercado. Suponga que la gráfica de esta función es la que se muestra en la figura.
Figura 1.4
Vemos que los puntos (4; 40) y (14; 80) pertenecen al gráfico de f. Esto quiere decir que f (4) = 40 y f (14) = 80, lo cual significa que el costo de producción del artículo, cuatro y catorce meses después de su lanzamiento, es de 40 y 80 soles, respectivamente.
1.2. Funciones elementales
1.2.1 Función constante
La función constante se define como:
Donde la letra C denota una constante real. Ya que para cualquier número real x la función f toma el mismo valor, esta es llamada función constante. Su gráfica es una recta horizontal que corta al eje de ordenadas Y en el punto C.
Para C > 0:
Figura 1.5
Para C < 0:
Figura 1.6
Ejemplo 1.3
Las funciones f (x) = 3 y g (x) = –3 son funciones constantes. Su gráficos son rectas horizontales que cortan al eje de ordenadas Y en los puntos 3 y –3 respectivamente, tal como muestran las siguientes figuras:
Figura 1.7
Figura 1.8
1.2.2 Función lineal
La función lineal se define como:
Donde m y b son constantes reales. Esta función debe su nombre al hecho de que su gráfica es una línea recta. Como sabemos, la constante m representa la pendiente de la recta, mientras que la constante b, el punto de intersección de la recta con el eje de ordenadas Y.
Figura 1.9
Notemos que cuando m = 0, la función lineal se convierte en función constante. Así, la función constante es un caso particular de función lineal.
Recordemos que la pendiente de una recta es igual a la tangente trigonométrica de su ángulo de inclinación. Esto quiere decir que, dependiendo del signo de la pendiente m, varía la inclinación de la recta y = mx + b.
Figura 1.10
Ejemplo 1.4
La figura 1.11 muestra las rectas L1 y L2, la primera con pendiente m = 2 y la segunda con pendiente m = –1. Estas rectas son las gráficas de las funciones f (x) = 2x + 4 y g (x) = –x + 7.
Figura 1.11
1.2.3 Función cuadrática
Definimos la función cuadrática por:
Donde a, b y c son constantes reales y exigimos que a ≠ 0, pues, de lo contrario, la función se convertiría en lineal.
Como sabemos del curso Matemática Básica, la gráfica de la función cuadrática es una parábola que puede abrirse hacia arriba o hacia abajo, dependiendo del signo del coeficiente a.
Si el coeficiente a es positivo, la gráfica será una parábola que se abre hacia arriba. En caso contrario, cuando a sea negativo, la parábola se abrirá hacia abajo. Un elemento importante de cualquier parábola es su vértice, que es dado por:
El gráfico 1.12 resume lo anterior:
Figura 1.12
Ejemplo 1.5
Considere la función cuadrática f (x) = 3x2 – 6x + 3. Si comparamos esta función con la forma general f (x) = ax2 + bx + c, notamos que a = 3, b = – 6 y c = 3. Halle el vértice de la parábola (gráfico de f):
Luego, el vértice es el punto (1; 0). Además, como a = 3 > 0, resulta que la gráfica es una parábola que se abre hacia arriba.
La gráfica de la función f es:
Figura 1.13
1.2.4 Función raíz cuadrada
La función raíz cuadrada se define como:
Observación 1.1
Recordemos que, para calcular la raíz cuadrada de un número real, es necesario que este sea no negativo; es decir, mayor o igual que cero. Por tal razón, exigimos que x ≥ 0 en la definición de esta función.
Observación 1.2
También debemos recordar que la raíz cuadrada de un número es siempre mayor o igual que cero. Es decir:
Como
