все числа? Интересно то, что этот путь абсолютно случаен.
Для примера можно привести график всех значений данного алгоритма от 1 до 100 (Рис. 2).
Рис. 2. График значений для чисел-гранул от 1 до 100
Как можно увидеть, чаще всего изначально начинается рост и после резкий спад, при этом значение числа просто не рассмотреть, однако, если сделать график логарифмическим, в его колебаниях прослеживается нисходящий тренд. Его также можно наблюдать на рынке акций в день обвала, что не случайно, ибо это примеры геометрического броуновского движения, то есть, если взять логарифмы и вычислить линейную компоненту, колебания кажутся случайными, как если бы на каждом шаге бросали монетку. И если рассматривать данный анализ функции, как часть математического анализа, то тут начинает прослеживаться явная связь с теорией вероятности. Откуда получается, что когда получается орёл – линия идёт вверх, а когда решка – вниз, откуда и получается особый график.
Если же рассматривать данный график при сопоставлении с той же биржей, то это скорее в краткосрочном анализе, хотя в долгосрочной перспективе, акции всё же растут, а «3x+1» падает. Ещё можно обратить внимание на старший разряд чисел градиент – это означает гистограмму, который получается, подсчитать количество цифр, с которых начинаются числа в ряде гранул для того или иного числа алгоритма. Если каждый раз добавлять эти значения, для 1, 2, 3 и т.д., получается всё больше и больше данных, при этом соотношение высоты столбиков становиться всё более упорядоченным.
Так для первого миллиарда последовательностей самым частым значением оказывается единица, 29,94% всех случаев, 2 – 17,47%, 3 – 12,09%, 4 – 10,63%, 5 – 7,94%, 6 – 6,16%, 7 – 5,76%, 8 – 5,31%, 9 – 4,7% и чем цифра больше, тем реже она оказывается впереди.
Подобный расклад характерен не только для чисел-градин, примером много, это и население стран, и стоимость компаний, все физические константы или числа Фибоначчи, и много чего ещё. Этот закон называется законом Бенфорда. Удивительно, но если проследить в налоговых декларациях нарушение закона Бенфорда, можно даже определить факт мошенничества. Этот закон также помогает определить аномалии при подсчёте голосов на выборах или многом другом.
Самое лучшее действие этого закона происходит тогда, когда числа, вводимые в нём, имеют разброс в несколько порядков, как в данном случае, но закон Бенфорда, к сожалению, не может сказать, все ли числа попадают в конце в цикл 4-2-1. Для этого нужно использовать другой метод. Изначально странно, что этот алгоритм приводит все числа к 1, учитывая, что чётных и не чётных чисел поровну и не чётные возрастают более чем в 3 раза, а чётные уменьшаются в 2 раза.
Тут напрашивается вывод о том, что все последовательности по идее должны идти вверх, а не вниз. Но стоит обратить внимание и на то, что всегда, когда производиться операция с не чётным числом, то есть, когда его умножают на 3 и прибавляют 1, оно обязательно превращается в чётное, следовательно, следующим шагом он всегда будет делиться на 2. Получается, что не чётные числа не утраиваются, а умножаются на (3x+1) /2 или точнее на 1,5, ибо 0,5 для больших чисел
