переменные с лагом в один, два и три месяц; b1,b2 и b3 – соответствующие коэффициенты регрессии при лаговых переменных.
3.2. Специфика уравнений авторегрессии со скользящим средним (ARMA)
Помимо авторегрессионных моделей, нам необходимо также познакомиться и с моделями со скользящим средним в остатках, которые в англоязычной литературе обычно называется словосочетанием Moving Average. Полезность моделей со скользящим средним в остатках обусловлена тем, что для стационарного ряда предсказываемую переменную Yt можно представить в виде линейной функции прошлых ошибок (отклонений прогнозов от их фактических значений). Следует иметь в виду, что термин «скользящая средняя» в данном случае не является синонимом скользящей средней, применяемой, например, для сезонного сглаживания уровней динамического ряда. При этом модель со скользящими средними в остатках первого порядка кратко обозначается как МА(1), а ее формула имеет следующий вид:
Объединение в одной модели авторегрессионного процесса AR и модели со скользящим средним в остатках МА приводит к созданию более экономичной модели с точки зрения количества используемых параметров. Эту объединенную модель в англоязычной литературе кратко называют ARMA. Данная аббревиатура произошла от словосочетания ‑ Auto Regressive ‑ Moving Average, что в переводе означает авторегрессионный процесс со скользящими средними в остатках.
Порядок в этой модели в буквенной форме принято обозначать как ARMA(p,q), где p ‑ величина порядка авторегрессионного процесса, а q – величина порядка процесса со скользящим средним в остатках. Например, модель ARMA (2;1) фактически представляет собой комбинацию модели AR (2) с моделью MA(1), то есть в одной модели объединена авторегрессионная модель второго порядка с моделью со скользящим средним в остатках первого порядка. В результате модель ARMA (2;1) приобретает вид (3.4):
Для того, чтобы объединенная модель ARMA(2;1) была нашим читателям более понятна, ее можно задать в виде двух уравнений. Так, для AR(2) формула будет иметь вид (3.5)
В то время как уравнения для MA(1) можно представить так (3.6):
Следовательно, формулу (3.4) модели ARMA(2; 1) можно получить путем вычитания из
левой части формулы (3.5) левой части уравнения (3.6).
3.3. Коррелограмма и идентификация лаговых переменных в уравнениях AR и ARMA
При практическом построении модели ARMA(p,q) наиболее трудным является определение параметров p и q, то есть определение оптимального количества лагов. При этом инструментами для нахождения соответствующих лаговых переменных являются автокорреляционная функция и частная автокорреляционная функция, о которых мы расскажем ниже.
Программа EViews позволяет довольно быстро найти оптимальные параметры p и q для модели ARMA. Для этого используется коррелограмма зависимости между различными лагами временного ряда с ежемесячными курсами американского
