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(siehe Abschnitt G.7).
Ein Gegenstand kann zwei verschiedene Arten von Energie besitzen, kinetische (Bewegungs-) und potenzielle (Lage-) Energie. Die kinetische Energie Ekin eines Körpers ist die Energie, die er aufgrund seiner Bewegung besitzt. Für einen Gegenstand der Masse m, die sich mit einer Geschwindigkeit υ bewegt, ist
(g.4)
Die potenzielle Energie Epot oder V eines Objekts ist die Energie, die es aufgrund seiner Lage besitzt. Für die potenzielle Energie kann man keinen allgemein gültigen Ausdruck angeben, da sie von der Natur der Kraft abhängt, die auf den Gegenstand wirkt. Für ein Teilchen der Masse m im Schwerefeld der Erde gilt in einer Höhe h nahe der Erdoberfläche
(g.5)
wobei g die Beschleunigung des freien Falls ist (g = 9.81 m s–2). Der Nullpunkt der potenziellen Energie ist willkürlich; im vorliegenden Fall ist es daher am sinnvollsten, V(0) = 0 zu setzen.
Eine der wichtigsten Arten der potenziellen Energie in der Chemie ist die Coulombenergie, die potenzielle Energie der elektrostatischen Wechselwirkung zwischen zwei elektrischen Punktladungen. Im Vakuum gilt für eine Punktladung Q1 in einer Entfernung r von einer zweiten Punktladung Q2
(g.6)
Üblicherweise (so auch hier) setzt man dabei die potenzielle Energie für einen unendlichen Abstand der beiden Ladungen voneinander gleich null. Dann haben zwei entgegengesetzte Ladungen bei endlichen Abständen eine negative potenzielle Energie, wohingegen zwei gleichnamige Ladungen eine positive Energie besitzen. Ladungen werden in Coulomb (C) gemessen und oft auch als Vielfache der Elementarladung e ausgedrückt. Die Ladung eines Elektrons ist dann –e und die eines Protons +e; die Ladung eines Ions mit der Ladungszahl z (positiv für Kationen, negativ für Anionen) ist ze. Die Konstante ε0 ist die Vakuumpermittivität, eine Fundamentalkonstante mit dem Wert 8.854 × 10–12 C2 J–1 m–1. In einem anderen Medium als Vakuum wird die potenzielle Energie der Wechselwirkung zwischen zwei Ladungen reduziert; man ersetzt dann die Vakuumpermittivität durch die Permittivität ε des Mediums. Die Permittivität wird meist als Vielfaches der Vakuumpermittivität ausgedrückt,
(g.7)
wobei εr die dimensionslose relative Permittivität (früher als Dielektrizitätskonstante bezeichnet) ist.
Die Gesamtenergie eines Teilchens ist die Summe seiner kinetischen und potenziellen Energien,
(g.8)
Wir werden häufig das allem Anschein nach universelle Naturgesetz verwenden, dass die Energie erhalten bleibt, d. h. Energie kann weder erzeugt noch zerstört werden. Obwohl Energie von einem Ort zu einem anderen übertragen und von einer Form in eine andere umgewandelt werden kann, bleibt die Gesamtenergie immer konstant.
G.5 Die Beziehung zwischen molekularen und makroskopischen Eigenschaften
■ Das Wichtigste in Kürze: (a) Die Energieniveaus von räumlich eingegrenzten Teilchen sind quantisiert. (b) Die Boltzmannverteilung ist eine Gleichung, mit der die relativen Besetzungszahlen von Zuständen mit unterschiedlichen Energien berechnet werden können. (c) Der Gleichverteilungssatz macht es möglich, die mittleren Energien mancher Systeme zu berechnen.
Die Energie eines Moleküls, Atoms oder subatomaren Teilchens, das auf einen Raumbereich eingegrenzt ist, ist quantisiert (oder gequantelt), d. h. auf einen Satz von diskreten Werten eingeschränkt. Diese erlaubten Energien werden als Energieniveaus bezeichnet. Die Werte der erlaubten Energien hängen von den Eigenschaften des Teilchens (beispielsweise seiner Energie) und der Größe des Raums ab, in den es eingesperrt ist. Die Quantisierung der Energie ist am wichtigsten, d. h. die Abstände zwischen den erlaubten Energieniveaus sind am größten, wenn sehr leichte Teilchen auf einen sehr kleinen Raumbereich eingeschränkt sind. Folglich ist die Quantisierung für Elektronen in Atomen und Molekülen von großer Bedeutung, für makroskopische Objekte jedoch in der Regel vernachlässigbar. Für Teilchen in makroskopischen Behältern sind die Abstände der Energieniveaus so klein, dass die Bewegung der Teilchen durch den Raum – also ihre Translation – für alle praktischen Zwecke als unquantisiert betrachtet werden kann. Wie wir in Kapitel 7 sehen werden, wird die Quantisierung zunehmend wichtiger, wenn wir von Rotationszu Schwingungsbewegungen und schließlich zu elektronischen Bewegungen übergehen. Die Abstände der Energieniveaus der Rotation (in kleinen Molekülen etwa 10–23 J oder 0.01 zJ entsprechend 0.01 kJ mol–1) sind kleiner als die der Energieniveaus der Schwingung (etwa 103 kJ mol–1), die wiederum kleiner als die Abstände der elektronischen Niveaus (etwa 10–18 J oder 1 aJ entsprechend 103 kJ mol–1). In Abb. G-4 sind die typischen Abstände der verschiedenen Energieniveaus dargestellt.
Kommentar G-1
Die ungewöhnlichen, aber nützlichen Präfixe z (für zepto) und a (für atto) werden in Abschnitt G.7 erläutert.
G.5.1 Die Boltzmannverteilung
Abb. G.4 Die typischen Abstände der Energieniveaus (als Wellenzahlen ausgedrückt) in vier Arten von Systemen.
Die unaufhörliche thermische Bewegung der Moleküle in einer Probe bei T > 0 sorgt dafür, dass sie gleichmäßig über alle verfügbaren Energieniveaus verteilt sind. Ein bestimmtes Molekül mag in einem konkreten Moment in einem Zustand mit niedriger Energie sein und dann einen Moment später in einen energiereichen Zustand angeregt werden. Obwohl wir den Zustand dieses individuellen Moleküls nicht verfolgen können, können wir etwas über die durchschnittlichen Zahlen von Molekülen in jedem Zustand aussagen. Auch wenn einzelne Moleküle ihre Zustände als Ergebnis von Stößen verändern können, bleibt die durchschnittliche Zahl von Molekülen in jedem Zustand doch konstant (so lange die Temperatur des Systems konstant bleibt).
Die durchschnittliche Zahl der Moleküle in einem Zustand wird seine Besetzungszahl oder Population genannt. Bei T = 0 ist nur der Zustand mit der niedrigsten Energie (der Grundzustand) besetzt. Durch eine Erhöhung der Temperatur werden einige Moleküle in energiereichere Zustände angeregt, und je weiter die Temperatur erhöht wird, desto mehr Zustände
