Wie groß ist der Radius der Moleküle, wenn man diese als kugelförmig betrachtet?13 1.13 Bestimmen Sie die Koeffizienten a und b der Dieterici-Zu-standsgleichung aus den kritischenGrößenvonXenon. Welchen Druck übt 1.0 mol Xe aus, wenn es bei 25 °C ein Volumen von 1.0 L besitzt?
Theoretische Aufgaben
1 1.14 Zeigen Sie, dass aus der Van-der-Waals-Gleichung sowohl Z < 1 als auch Z > 1 folgen kann. Unter welchen Bedingungen trifft welche der Relationen zu?
2 1.15 Formulieren Sie die Van-der-Waals-Gleichung als Virialent-wicklung in Potenzen von (1/Vm) und stellen Sie Beziehungen für B und C als Funktion von a und b auf. Die benötigte Reihenentwicklung lautet (1 – X)–1 = 1 + X + X2 + … Experimentell wurden folgende Werte für die Virialkoeffizien-tenvonArgonbei273Kbestimmt: B = –21.7 cm3 mol–1 und C = 1200 cm6 mol–2. Welche Werte für a und b der entsprechenden Van-der-Waals-Gleichung erhalten Sie?
3 1.16 ‡ Leiten Sie die Beziehung zwischen den kritischen Größen und den Koeffizienten der Dieterici-Gleichung her. Zeigen Sie, dass Zkrit = 2e–2 ist, und schreiben Sie die Dieterici-Gleichung in reduzierter Form auf. Vergleichen Sie die Vorhersagen der Van-der-Waals- und der Dieterici-Gleichung hinsichtlich des kritischen Kompressionsfaktors. Welcher Faktor kommt typischen experimentellen Werten näher?
4 1.17 Folgende Zustandsgleichung wurde für ein Gas vorgeschlagen:Weisen Sie nach, dass diese Gleichung zu kritischem Verhalten führt. Geben Sie die kritischen Größen des Gases als Funktion von B und C sowie einen Ausdruck für den kritischen Kompressionsfaktor an.
5 1.18 Gleichung (1-19a) und (1-19b) sind Reihenentwicklungen in p bzw. 1/Vm. Bestimmen Sie daraus die Beziehung zwischen B, C und B′, C′.
6 1.19 Den zweiten Virialkoeffizienten B′ kann man aus Messungen der Dichte ρ eines Gases bei verschiedenen Drücken berechnen. Zeigen Sie, dass die Auftragung von p/ρ als Funktion von p eine Gerade ergibt, deren Steigung proportional zu B′ ist. Berechnen Sie B und B′ aus den Daten für Dimethylether bei 25 °C (Aufgabe 1.2).
7 1.20 Die Zustandsgleichung eines Gases sei . Geben Sie die partielle Ableitung (∂V/∂T)p an.
8 1.21 Folgende Zustandsgleichungen werden mitunter zu Abschätzungen der Eigenschaften von Gasen verwendet: (GasA) pVm = RT(1 + b/ Vm), (Gas B) p (Vm – b) = RT. Wenn es tatsächlich Gase A und B gäbe, die diese Zustandsgleichungen exakt erfüllen – welches der Gase ließe sich verflüssigen, welches würde eine kritische Temperatur aufweisen? Erläutern Sie Ihre Entscheidung.
9 1.22 Ein Gas befolge die Zustandsgleichung p (V – nb) = nRT; b und R seien Konstanten. Leiten Sie einen Ausdruck für den Kompressionsfaktor her. Wie ist sein Zahlenwert für Vm = 10b?
10 1.23 ‡ Lord Rayleigh und Sir William Ramsay entdeckten das Element Argon bei ihren Experimenten zur Messung der Dichte des Stickstoffs, dessen molare Masse sie bestimmen wollten. Rayleigh stellte einige Proben Stickstoff durch geeignete chemische Reaktionen stickstoffhaltiger Verbindungen her. Ein Glasballon, gefüllt mit solchem „chemischem Stickstoff“, hatte eine Masse von 2.2990 g. Weitere Proben gewann er, indem er Sauerstoff, Kohlendioxid und Wasserdampfaus Raumluft entfernte; unter denselben Bedingungen wie oben wog der Glasballon mit „atmosphärischem Stickstoff“ 2.3102 g (Lord Rayleigh, Royal Institution Procee-dings 14 (1895) 524). Berechnen Sie mithilfe der (inzwischen bekannten) exakten Molmassen von Stickstoff und Argon den Molenbruch von Argon in der zweiten Probe. Nehmen Sie dazu an, dass es sich bei der ersten Probe um reinen Stickstoff, bei der zweiten hingegen um ein Gemisch aus Stickstoffund Argon handelte.
11 1.24 ‡ Auch ein altbekanntes chemisches Element wie Argon ist noch Gegenstand von Forschungsarbeiten. In einem Übersichtsartikel zu den thermodynamischen Eigenschaften des Elements (R. B. Stewart, R.T.Jacobson,J. Phys. Chem. Ref. Data 18 (1989) 639) wird die folgende Isotherme bei 300 K angegeben:p/MPa0.40000.50000.60000.8000Vm/ (dm3 mol–1)6.22084.97364.14233.1031p/MPa1.0001.5002.0002.500Vm/ (dm3 mol–1)2.47951.64831.23280.98357p/MPa3.0004.000Vm/ (dm3 mol–1)0.817460.60998(a) Berechnen Sie den zweiten Virialkoeffizienten B bei 300 K. (b) Berechnen Sie den dritten Virialkoeffizienten C mithilfe einer Software zur nichtlinearen Kurvenanpassung.
Anwendungsaufgaben
1 1.25 Die Luftverschmutzung ist ein viel beachtetes und weithin diskutiertes Problem. Nicht alle Schadstoffe stammen jedoch aus Industrieanlagen; auch bei Vulkanausbrüchen können signifikante Mengen schädlicher Substanzen in die Atmosphäre gelangen. Der Vulkan Kilauea auf Hawaii zum Beispiel stößt täglich 200–300t SO2 aus. Wie groß ist das Volumen dieser Gasmenge bei 800°C und 1.0 atm?
2 1.26 Das atmosphärische Spurengas Ozon spielt eine wichtige Rolle bei der Abschirmung der Erdoberfläche vor schädlicher UV-Strahlung. Die Dicke der Ozonschicht misst man in Dobson-Einheiten. Eine Dobson-Einheit (DU) ist die Höhe (in hundertstel Millimetern) einer Säule aus reinem Ozon bei 1.00 atm und 0°C, die ebenso viel Ozon enthält wie die entsprechende Säule in der Atmosphäre. Wie viel Mol Ozon befinden sich in einer Luftsäule mit einer Querschnittsfläche von 1.00 dm2, wenn die Konzentration 250 DU beträgt? (Dies ist ein für mittlere Breitengrade typischer Wert.) Im jahreszeitabhängigen Ozonloch über der Antarktis fällt die Konzentration unter 100 DU. Wie viel Mol Ozon befinden sich dann unter den angegebenen Bedingungen in der beschriebenen Luftsäule? Ein Großteil des atmosphärischen Ozons befindet sich 10 bis 50 km oberhalb der Erdoberfläche. Stellen Sie sich vor, das Gas wäre in dieser Schicht gleichmäßig verteilt. Welche mittlere molare Konzentration entspräche dann (a) 250 DU und (b) 100 DU?
3 1.27 Die barometrische Höhenformel stellt eine Beziehung zwischen dem Druck p eines Gases der molaren Masse M in der Höhe h und seinem Druck p0 auf Meereshöhe her. Leiten Sie diese Beziehung her! Zeigen Sie dazu, dass die Druckänderung dp für eine infinitesimale Höhendifferenz dh (die Dichte ist dort gleich ρ)durch dp = – ρg dh gegeben ist. Beachten Sie, dass die Dichte vom Druck abhängt. Wie groß ist (a) die Druckdifferenz zwischen Boden und Deckel eines Laborgefäßes mit einer Höhe von 15 cm, (b) der äußere Atmosphärendruck in der typischen Reisehöhe eines Flugzeugs (11 km), wenn der Druck in Bodennähe 1.0 atm beträgt?
4 1.28 Mit Fesselballons werden Sonden in die Atmosphäre aufgelassen, die meteorologische Phänomene erkunden und die Zusammensetzung der Lufthülle messen. Wir wollen mithilfe der Zustandsgleichung des idealen Gases einige technische Details des Ballonflugs näher untersuchen. Unser Ballon sei kugelförmig mit einem Radius von 3.0m. (a) Welche Stoffmenge H2 (in Mol) ist erforderlich, um den Ballon auf Meereshöhe bei 25 °C auf einen Innendruck von 1.0 atm aufzupumpen? (b) Welche Masse kann dieser Ballon in Höhe des Meeresspiegels anheben? Die Dichte der Luft beträgt 1.22 kg m–3. (c) Welche Nutzlast erhält man, wenn man den Ballon mit Helium statt mit Wasserstoff füllt?
5 1.29 ‡ Aufgabe 1.28 löst man am einfachsten mithilfe des archimedischen Prinzips (die Auftriebskraft ist gleich der Differenz zwischen dem Gewicht der verdrängten Luft und dem Gewicht des Ballons). Beweisen Sie das archimedische Prinzip für die Atmosphäre ausgehend von der barometrischen Höhenformel. Hinweis: Wählen Sie eine einfache Form des Ballons, etwa einen geraden Kreiszylinder mit der Grundfläche A und der Höhe h.
6 1.30 ‡ Chlorfluorkohlenwasserstoffe wie CCl3F und CCl2F2 werden zu den Verursachern des Ozonlochs über dem Südpolargebiet gezählt. 1994 wurde für den Volumengehalt der Atmosphäre an diesen Gasen 261 bzw. 509 ppt (parts per trillion, billionstel Teile) gemessen (World Resources Institute, World Resources 1996-1997). Berechnen Sie die molaren Konzentrationen beider Gase unter Bedingungen, die typisch sind (a) für die Troposphäre in mittleren Breitengraden (10°C, 1.0 atm)
